Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição.
integral1^5(2 x-1)^5 / 2 d x
R: 2186/7

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: integral1^5(2x - 1)^5/2 , dx. A matéria que vamos usar aqui é o método de substituição, que é uma técnica para facilitar a integração de funções mais complicadas. Vamos precisar identificar uma parte da função que podemos substituir por uma variável mais simples para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a substituição. Vamos chamar u = 2x - 1. Esse u simplifica o que está dentro do parêntese.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar du. Derivando u em relação a x, temos:
du = 2 , dx Rightarrow dx = du2
Então, , dx é igual a du2.

Passo 4

Vamos também mudar os limites de integração para u. Quando x = 1:
u = 2(1) - 1 = 1
E quando x = 5:
u = 2(5) - 1 = 9
Então, os novos limites são de u = 1 a u = 9.

Passo 5

Agora, substituímos tudo na integral original:
integral1^5(2x - 1)^5/2 , dx = integral1^9u^5/2 cdot du2 = 12 integral1^9u^5/2 , du
Isso simplifica a nossa integral.

Passo 6

Vamos integrar u^5/2. A regra para integrar u^n é:
integral u^n , du = u^n+1n+1 + C
Aqui, n = 52, então:
integral u^5/2 , du = u^7/272 = 27u^7/2

Passo 7

Voltando à nossa integral:
12 integral1^9u^5/2 , du = 12 cdot 27 [ u^7/2 ]1^9 = 17 [ u^7/2 ]1^9

Passo 8

Agora, calculamos os limites:
17 [ 9^7/2 - 1^7/2 ]
Sabendo que 9^7/2 = (9^1/2)^7 = 3^7 = 2187 e 1^7/2 = 1, temos:
17 (2187 - 1) = 17 times 2186 = 21867

Resposta

21867

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