Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição.
integral-1^1 x e^x^2+1 d x
R: 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida: integral-1^1 x e^x^2+1 , dx. A matéria que vamos usar aqui é o Cálculo Integral, especificamente o método de substituição. Para resolver isso, vamos precisar identificar uma parte da função que podemos substituir por uma variável mais simples, facilitando o cálculo da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma função dentro da integral que, se substituída, simplificaria a expressão. Observamos que o expoente x^2 + 1 é uma boa candidata para substituição. Vamos chamar:
u = x^2 + 1

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de u em relação a x para encontrar du:
dudx = 2x
Isso significa que:
du = 2x , dx
Ou, rearranjando:
x , dx = du2

Passo 4

Vamos substituir u e x , dx na integral original:
integral-1^1 x e^x^2+1 , dx = integral-1^1 e^u cdot du2 = 12 integral-1^1 e^u , du
No entanto, precisamos ajustar os limites de integração para a variável u.

Passo 5

Quando x = -1:
u = (-1)^2 + 1 = 1 + 1 = 2
Quando x = 1:
u = (1)^2 + 1 = 1 + 1 = 2
Então, os limites de integração para u vão de 2 a 2.

Passo 6

Agora, substituímos os limites na integral:
12 integral2^2 e^u , du
Uma integral onde o limite inferior é igual ao limite superior sempre resulta em zero, porque não há área sob a curva entre dois pontos iguais.

Resposta

A integral integral-1^1 x e^x^2+1 , dx é igual a 0.

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