Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição.
integral0^2 xraizx^2+5 d x
R: 3-raiz5

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral definida de xraizx^2+5 de 0 a 2 usando o método de substituição. Isso está relacionado ao cálculo de integrais, especificamente usando a técnica de substituição para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir para simplificar as coisas. Olhando para o denominador, temos raizx^2 + 5 . Uma boa escolha para substituição é definir u = x^2 + 5 .

Passo 3

Agora, vamos derivar u em relação a x para encontrar du . A derivada de u é:
du = 2x , dx
Isso significa que:
du2 = x , dx
Perfeito, porque temos x , dx na nossa integral original.

Passo 4

Vamos substituir u e x , dx na integral:
integral xraizx^2 + 5 , dx = integral 1raizu cdot du2 = 12 integral u^-1/2 , du
Aqui, estamos simplificando a integral usando a substituição que fizemos.

Passo 5

Agora, vamos integrar u^-1/2 :
12 integral u^-1/2 , du = 12 cdot 2u^1/2 + C = u^1/2 + C
Onde C é a constante de integração, mas como estamos lidando com uma integral definida, podemos ignorar C .

Passo 6

Vamos reverter a substituição para voltar para x :
u^1/2 = raizx^2 + 5
Então, a integral indefinida é:
raizx^2 + 5

Passo 7

Agora, vamos aplicar os limites de integração de 0 a 2:
raizx^2 + 5 |0^2 = raiz2^2 + 5 - raiz0^2 + 5 = raiz4 + 5 - raiz5 = raiz9 - raiz5 = 3 - raiz5

Resposta

O valor da integral é 3 - raiz5 .

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