Ache o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo x, da região limitada pela curva y=2x-3, pelo eixo x e pelas retas x=4 e x=5.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar o volume do sólido formado quando a região limitada pela curva y = 2x-3 , pelo eixo x , e pelas retas verticais x = 4 e x = 5 é girada em torno do eixo x . Para isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica de cálculo integral para encontrar volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região que estamos girando. A curva y = 2x-3 está definida para x > 3 . Entre x = 4 e x = 5 , os valores de y são positivos, então a região está acima do eixo x .

Passo 3

Para usar o método dos discos, a fórmula geral do volume V é:
V = pi integrala^b [f(x)]^2 , dx
Aqui, f(x) = 2x-3 , a = 4 e b = 5 .

Passo 4

Vamos substituir f(x) na fórmula:
V = pi integral4^5 (2x-3)^2 , dx
Simplificando a expressão dentro da integral:
(2x-3)^2 = 4(x-3)^2
Então:
V = 4pi integral4^5 1(x-3)^2 , dx

Passo 5

Agora, precisamos resolver a integral integral 1(x-3)^2 , dx . Sabemos que:
integral (x-3)^-2 , dx = (x-3)^-1-1 + C = -1x-3 + C

Passo 6

Aplicando os limites de integração de 4 a 5:
integral4^5 1(x-3)^2 , dx = [ -1x-3 ]4^5 = -15-3 + 14-3 = -12 + 1 = 12

Passo 7

Agora, multiplicamos o resultado da integral pelo fator que estava fora:
V = 4pi times 12 = 2pi

Resposta

O volume do sólido gerado é 2pi unidades cúbicas.

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