Ache o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo
, da região limitada pela curva
, pelo eixo
e pelas retas
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar o volume do sólido formado quando a região limitada pela curva
, pelo eixo
, e pelas retas verticais
e
é girada em torno do eixo
. Para isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica de cálculo integral para encontrar volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região que estamos girando. A curva
está definida para
. Entre
e
, os valores de
são positivos, então a região está acima do eixo
.
Passo 3
Para usar o método dos discos, a fórmula geral do volume
é:
Aqui,
,
e
.
Passo 4
Vamos substituir
na fórmula:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então:
Passo 5
Agora, precisamos resolver a integral
. Sabemos que:
Passo 6
Aplicando os limites de integração de 4 a 5:
Passo 7
Agora, multiplicamos o resultado da integral pelo fator que estava fora:
Resposta
O volume do sólido gerado é
unidades cúbicas.