Utilizando o Método do Fator Integrante, encontre a solução do PVI:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é um problema de valor inicial (PVI). A equação que temos é:
com a condição inicial
.
Vamos usar o Método do Fator Integrante, que é uma técnica para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para isso, precisamos identificar os termos da equação e seguir alguns passos para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para identificar os componentes que precisamos. A equação está na forma padrão:
Aqui,
e
.
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante, que vamos chamar de
. A fórmula para o fator integrante é:
Substituindo
:
Passo 4
Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando o lado direito:
Passo 5
O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
. Ou seja:
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a
:
Integrando:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, resolvemos para
:
Para encontrar o valor de
, usamos a condição inicial
:
Simplificando:
Como
nunca é zero, temos:
Resposta
A solução do PVI é: