Utilizando o Método do Fator Integrante, encontre a solução do PVI:
ly^prime+2 y=t e^-2 t y(1)=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é um problema de valor inicial (PVI). A equação que temos é:
y^prime + 2 y = t e^-2 t
com a condição inicial y(1) = 0 .
Vamos usar o Método do Fator Integrante, que é uma técnica para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para isso, precisamos identificar os termos da equação e seguir alguns passos para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para identificar os componentes que precisamos. A equação está na forma padrão:
y^prime + P(t) y = Q(t)
Aqui, P(t) = 2 e Q(t) = t e^-2 t .

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante, que vamos chamar de mu(t) . A fórmula para o fator integrante é:
mu(t) = e^integral P(t) , dt
Substituindo P(t) = 2 :
mu(t) = e^integral 2 , dt = e^2 t

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante mu(t) :
e^2 t y^prime + 2 e^2 t y = t e^-2 t cdot e^2 t
Simplificando o lado direito:
e^2 t y^prime + 2 e^2 t y = t

Passo 5

O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto mu(t) y . Ou seja:
ddt ( e^2 t y ) = t
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a t :
integral ddt ( e^2 t y ) , dt = integral t , dt
Integrando:
e^2 t y = t^22 + C
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Agora, resolvemos para y :
y = e^-2 t ( t^22 + C )
Para encontrar o valor de C , usamos a condição inicial y(1) = 0 :
0 = e^-2 cdot 1 ( 1^22 + C )
Simplificando:
0 = e^-2 ( 12 + C )
Como e^-2 nunca é zero, temos:
12 + C = 0 implies C = -12

Resposta

A solução do PVI é:
y(t) = e^-2 t ( t^22 - 12 )

Exercícios relacionados