Utilizando o Método do Fator Integrante, encontre a solução do PVI:
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. O exercício pede pra resolver uma equação diferencial do tipo PVI (Problema de Valor Inicial) usando o Método do Fator Integrante. A equação dada é:
E também temos a condição inicial
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma equação diferencial linear, como aplicar o fator integrante e usar a condição inicial para achar a solução específica.
Passo 2
Primeiro, a gente precisa colocar a equação na forma padrão das equações diferenciais lineares. A forma geral é:
No nosso caso, a equação é
. Para deixar na forma padrão, vamos dividir todos os termos por
(já que
):
Agora temos:
onde
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante. O fator integrante,
, é dado por:
Substituindo
:
Então, o fator integrante é
.
Passo 4
Com o fator integrante em mãos, a gente multiplica toda a equação diferencial pela
:
Simplificando:
Passo 5
A ideia do fator integrante é transformar a equação em algo que seja a derivada de um produto. De fato, a equação agora pode ser escrita como:
Isso facilita muito a resolução, porque agora só precisamos integrar ambos os lados em relação a
.
Passo 6
Vamos integrar os dois lados:
A integral da derivada é simplesmente
, e a integral do lado direito é:
Então, temos:
Passo 7
Agora, vamos resolver para
:
Simplificando:
Passo 8
Por fim, vamos usar a condição inicial
para encontrar o valor de
.
Substituindo
e
:
Simplificando:
Vamos resolver para
:
Simplificando os termos:
Resposta
A solução do PVI é: