Utilizando o Método do Fator Integrante, encontre a solução do PVI:
lt y^prime+2 y=t^2-t+1, t>0 y(1)=12

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. O exercício pede pra resolver uma equação diferencial do tipo PVI (Problema de Valor Inicial) usando o Método do Fator Integrante. A equação dada é:
t y' + 2 y = t^2 - t + 1, t > 0
E também temos a condição inicial y(1) = 12 . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma equação diferencial linear, como aplicar o fator integrante e usar a condição inicial para achar a solução específica.

Passo 2

Primeiro, a gente precisa colocar a equação na forma padrão das equações diferenciais lineares. A forma geral é:
y' + P(t) y = Q(t)
No nosso caso, a equação é t y' + 2 y = t^2 - t + 1 . Para deixar na forma padrão, vamos dividir todos os termos por t (já que t > 0 ):
y' + 2t y = t - 1 + 1t
Agora temos:
y' + P(t) y = Q(t)
onde P(t) = 2t e Q(t) = t - 1 + 1t .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante. O fator integrante, mu(t) , é dado por:
mu(t) = e^integral P(t) dt
Substituindo P(t) = 2t :
mu(t) = e^integral 2t dt = e^2 ln t = t^2
Então, o fator integrante é mu(t) = t^2 .

Passo 4

Com o fator integrante em mãos, a gente multiplica toda a equação diferencial pela mu(t) :
t^2 y' + t^2 cdot 2t y = t^2 ( t - 1 + 1t )
Simplificando:
t^2 y' + 2 t y = t^3 - t^2 + t

Passo 5

A ideia do fator integrante é transformar a equação em algo que seja a derivada de um produto. De fato, a equação agora pode ser escrita como:
ddt ( t^2 y ) = t^3 - t^2 + t
Isso facilita muito a resolução, porque agora só precisamos integrar ambos os lados em relação a t .

Passo 6

Vamos integrar os dois lados:
integral ddt ( t^2 y ) dt = integral ( t^3 - t^2 + t ) dt
A integral da derivada é simplesmente t^2 y , e a integral do lado direito é:
t^44 - t^33 + t^22 + C
Então, temos:
t^2 y = t^44 - t^33 + t^22 + C

Passo 7

Agora, vamos resolver para y :
y = 1t^2 ( t^44 - t^33 + t^22 + C )
Simplificando:
y = t^24 - t3 + 12 + Ct^2

Passo 8

Por fim, vamos usar a condição inicial y(1) = 12 para encontrar o valor de C .
Substituindo t = 1 e y = 12 :
12 = 1^24 - 13 + 12 + C1^2
Simplificando:
12 = 14 - 13 + 12 + C
Vamos resolver para C :
C = 12 - 14 + 13 - 12
Simplificando os termos:
C = -14 + 13 = -3 + 412 = 112

Resposta

A solução do PVI é:
y(t) = t^24 - t3 + 12 + 112 t^2

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