Ache o volume do sólido gerado pela rotação, em torno da reta y = -3, da região limitada pelas parábolas y = x^2 e y = 1 + x - x^2.

Passo 1

Vamos resolver um problema de cálculo de volume utilizando o método de rotação. A questão pede para encontrarmos o volume do sólido gerado ao rotacionar, em torno da reta , a região delimitada pelas parábolas e . Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular volumes de sólidos de rotação usando o método dos discos ou das arandelas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a região limitada pelas duas parábolas. Para isso, encontramos os pontos de interseção das funções e . Igualando as duas equações:
Resolvendo a equação:
Usando a fórmula de Bhaskara para resolver a equação quadrática:
Portanto, os pontos de interseção são x = 1 e .

Passo 3

Agora, precisamos determinar qual função está acima da outra no intervalo de a x = 1. Testando um valor dentro do intervalo, por exemplo x = 0:
Então, está acima de nesse intervalo.

Passo 4

Como vamos rotacionar a região em torno da reta , que é uma linha horizontal, usaremos o método das arandelas. Nesse método, o volume é calculado integrando a diferença entre as áreas das arandelas externas e internas.
A fórmula geral é:
onde:
  • R(x) é a distância da função superior até a reta de rotação,
  • r(x) é a distância da função inferior até a reta de rotação.

Passo 5

Vamos determinar R(x) e r(x):
Para :
Para :

Passo 6

Agora, substituímos R(x) e r(x) na fórmula do volume:

Passo 7

Vamos expandir as expressões dentro do integral:
Subtraindo as duas:

Passo 8

Agora, o integral fica:
Vamos integrar termo a termo:

Passo 9

Avaliar as integrais entre os limites de e x = 1:
Calculando para x = 1:
Calculando para :
Convertendo para um denominador comum, por exemplo, 96:

Passo 10

Subtraindo os valores:
Convertendo para um denominador comum de 96:
Portanto:

Resposta

O volume do sólido gerado pela rotação é unidades cúbicas.

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