Ache o volume do sólido gerado pela rotação, em torno da reta
, da região limitada pelas parábolas
.
Passo 1
Vamos resolver um problema de cálculo de volume utilizando o método de rotação. A questão pede para encontrarmos o volume do sólido gerado ao rotacionar, em torno da reta
, a região delimitada pelas parábolas
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular volumes de sólidos de rotação usando o método dos discos ou das arandelas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a região limitada pelas duas parábolas. Para isso, encontramos os pontos de interseção das funções
e
. Igualando as duas equações:
Resolvendo a equação:
Usando a fórmula de Bhaskara para resolver a equação quadrática:
Portanto, os pontos de interseção são
e
.
Passo 3
Agora, precisamos determinar qual função está acima da outra no intervalo de
a
. Testando um valor dentro do intervalo, por exemplo
:
Então,
está acima de
nesse intervalo.
Passo 4
Como vamos rotacionar a região em torno da reta
, que é uma linha horizontal, usaremos o método das arandelas. Nesse método, o volume é calculado integrando a diferença entre as áreas das arandelas externas e internas.
A fórmula geral é:
onde:
-
é a distância da função superior até a reta de rotação, -
é a distância da função inferior até a reta de rotação.
Passo 5
Vamos determinar
e
:
Para
:
Para
:
Passo 6
Agora, substituímos
e
na fórmula do volume:
Passo 7
Vamos expandir as expressões dentro do integral:
Subtraindo as duas:
Passo 8
Agora, o integral fica:
Vamos integrar termo a termo:
Passo 9
Avaliar as integrais entre os limites de
e
:
Calculando para
:
Calculando para
:
Convertendo para um denominador comum, por exemplo, 96:
Passo 10
Subtraindo os valores:
Convertendo para um denominador comum de 96:
Portanto:
Resposta
O volume do sólido gerado pela rotação é
unidades cúbicas.