Verifique se as seguintes sequências convergem calculando os limites dos termos gerais indicados: lim n infty ln (n+1)ln (n)
h) lim n infty raizn+1-raizn

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma sequência definida pelo termo geral raizn+1 - raizn. Queremos verificar se essa sequência converge quando n tende ao infinito, ou seja, calcular o limite limn infty raizn+1 - raizn. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de limites e propriedades das raízes quadradas.

Passo 2

Para calcular o limite limn infty raizn+1 - raizn, uma boa estratégia é racionalizar a expressão. Isso significa multiplicar e dividir por uma expressão que ajude a simplificar essa diferença de raízes.

Passo 3

Vamos multiplicar e dividir a expressão raizn+1 - raizn por raizn+1 + raizn. Assim:
raizn+1 - raizn = (raizn+1 - raizn)(raizn+1 + raizn)raizn+1 + raizn

Passo 4

Aplicando a multiplicação no numerador, usamos a identidade (a - b)(a + b) = a^2 - b^2. Então:
(raizn+1)^2 - (raizn)^2 = (n+1) - n = 1
Portanto, a expressão fica:
1raizn+1 + raizn

Passo 5

Agora, vamos analisar o denominador raizn+1 + raizn. Para n muito grande, raizn+1 approx raizn, então:
raizn+1 + raizn approx 2raizn

Passo 6

Substituindo no limite, temos:
limn infty 1raizn+1 + raizn approx limn infty 12raizn
Sabemos que raizn tende ao infinito quando n tende ao infinito, então o denominador cresce sem limite, fazendo com que o quociente tende a zero.

Resposta

Portanto,
limn infty raizn+1 - raizn = 0

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