A base de um sólido é a região encerrada por um círculo com 2 unidades de raio. Ache o volume do sólido se todas as seccões planas perpendiculares a um diâmetro fixo da base forem quadrados.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a base de um sólido que é um círculo com raio de 2 unidades. Queremos encontrar o volume desse sólido sabendo que todas as seções cortando perpendicularmente a um diâmetro fixo da base são quadrados. Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, especificamente integrando a área das seções ao longo do diâmetro.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar o círculo com raio 2. A equação desse círculo é:
Aqui, representa a altura em cada ponto ao longo do diâmetro.

Passo 3

Em qualquer ponto no diâmetro, a altura é dada por:
Essa é só a metade da altura. Como a seção é um quadrado, o lado do quadrado será o dobro disso:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a área de cada quadrado. A área de um quadrado é igual ao lado ao quadrado:

Passo 5

Para encontrar o volume total do sólido, vamos integrar a área dos quadrados ao longo de todo o diâmetro. Como o diâmetro vai de a , a integral fica:

Passo 6

Vamos calcular essa integral:
Integrando termo a termo:
Calculando nos limites:
Para :
Para :
Subtraindo:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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