A base de um sólido é a região encerrada por um círculo com 2 unidades de raio. Ache o volume do sólido se todas as seccões planas perpendiculares a um diâmetro fixo da base forem quadrados.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a base de um sólido que é um círculo com raio de 2 unidades. Queremos encontrar o volume desse sólido sabendo que todas as seções cortando perpendicularmente a um diâmetro fixo da base são quadrados. Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, especificamente integrando a área das seções ao longo do diâmetro.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar o círculo com raio 2. A equação desse círculo é:
Aqui, representa a altura em cada ponto ao longo do diâmetro.
Passo 3
Em qualquer ponto no diâmetro, a altura é dada por:
Essa é só a metade da altura. Como a seção é um quadrado, o lado do quadrado será o dobro disso:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a área de cada quadrado. A área de um quadrado é igual ao lado ao quadrado:
Passo 5
Para encontrar o volume total do sólido, vamos integrar a área dos quadrados ao longo de todo o diâmetro. Como o diâmetro vai de a , a integral fica: