Verifique se as seguintes sequências convergem calculando os limites dos termos gerais indicados: lim n infty cos (n)n
e ) lim n infty n^3+3 n+14 n^3+2

Passo 1

Vamos resolver dois limites para verificar se as sequências convergem. O primeiro limite é lim n infty cos (n)n e o segundo é lim n infty n^3+3n+14n^3+2. Vamos usar conceitos de cálculo de limites para entender o comportamento dessas sequências quando tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro Limite: lim n infty cos (n)n = 0
Vamos analisar o comportamento de cada parte da fração:
  • oscila entre -1 e 1 para qualquer valor de .
  • cresce sem limites à medida que tende ao infinito.
Quando temos uma fração onde o numerador é limitado (como ) e o denominador cresce sem limites, o valor da fração tende a zero. Isso acontece porque, independentemente do valor de , dividir por um número cada vez maior faz com que o resultado fique cada vez menor.
Então, temos:

Passo 3

Segundo Limite: n^3+3n+14n^3+2 = n^3/n^3 + 3n/n^3 + 1/n^34n^3/n^3 + 2/n^3 = 1 + 3n^2 + 1n^34 + 2n^3
Para encontrar esse limite, olhamos para os termos de maior grau no numerador e no denominador, que são 1 + 0 + 04 + 0 = 14 no numerador e no denominador.
Podemos dividir cada termo da fração por :
À medida que tende ao infinito:
  • tende a 0.
  • tende a 0.
  • tende a 0.
Portanto, a expressão simplifica para:

Resposta

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