Verifique se as seguintes sequências convergem calculando os limites dos termos gerais indicados:
e )
e )
Passo 1
Vamos resolver dois limites para verificar se as sequências convergem. O primeiro limite é
e o segundo é
. Vamos usar conceitos de cálculo de limites para entender o comportamento dessas sequências quando
tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro Limite:
Vamos analisar o comportamento de cada parte da fração:
-
oscila entre -1 e 1 para qualquer valor de . -
cresce sem limites à medida que tende ao infinito.
Quando temos uma fração onde o numerador é limitado (como
) e o denominador cresce sem limites, o valor da fração tende a zero. Isso acontece porque, independentemente do valor de
, dividir por um número cada vez maior faz com que o resultado fique cada vez menor.
Então, temos:
Passo 3
Segundo Limite:
Para encontrar esse limite, olhamos para os termos de maior grau no numerador e no denominador, que são
no numerador e
no denominador.
Podemos dividir cada termo da fração por
:
À medida que
tende ao infinito:
-
tende a 0. -
tende a 0. -
tende a 0.
Portanto, a expressão simplifica para: