Se é um número inteiro positivo, mostre que se .
c)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que mostrar que, se é um número inteiro positivo e , então:
Aqui, estamos lidando com limites e funções exponenciais. Para resolver isso, vamos analisar como a expressão se comporta conforme cresce sem limite.
Passo 2
Vamos lembrar que é um número inteiro positivo maior que 1 (já que e é positivo). Isso significa que, conforme aumenta, também aumenta muito rapidamente, indo para o infinito.
Por exemplo, se :
Passo 3
Agora, consideremos a expressão . Como está crescendo sem limite, o denominador da fração está ficando cada vez maior. Quando o denominador de uma fração cresce sem parar enquanto o numerador permanece constante (no caso, 1), a fração toda vai ficando menor e menor, se aproximando de zero.
Matematicamente, se quando , então:
Passo 4
Vamos formalizar isso usando a definição de limite. Queremos mostrar que, para qualquer número pequeno , existe um número inteiro tal que, para todo :
Como é sempre positivo, podemos simplificar para:
Escolhendo suficientemente grande, garantimos que , o que satisfaz a condição acima.
Passo 5
Concluímos, portanto, que conforme tende ao infinito, se aproxima cada vez mais de zero.