Se r é um número inteiro positivo, mostre que lim n infty r^n=infty se |r|>1.
c) lim n infty 1r^n=0

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que mostrar que, se lim n infty 1r^n = 0 é um número inteiro positivo e , então:
Aqui, estamos lidando com limites e funções exponenciais. Para resolver isso, vamos analisar como a expressão se comporta conforme cresce sem limite.

Passo 2

Vamos lembrar que 2^1 = 2, 2^2 = 4, 2^3 = 8, e assim por diante é um número inteiro positivo maior que 1 (já que e é positivo). Isso significa que, conforme aumenta, também aumenta muito rapidamente, indo para o infinito.
Por exemplo, se :

Passo 3

Agora, consideremos a expressão 1r^n 0 . Como está crescendo sem limite, o denominador da fração está ficando cada vez maior. Quando o denominador de uma fração cresce sem parar enquanto o numerador permanece constante (no caso, 1), a fração toda vai ficando menor e menor, se aproximando de zero.
Matematicamente, se quando , então:

Passo 4

Vamos formalizar isso usando a definição de limite. Queremos mostrar que, para qualquer número pequeno | 1r^n - 0 | < epsilon , existe um número inteiro 1r^n < epsilon tal que, para todo :
Como é sempre positivo, podemos simplificar para:
Escolhendo suficientemente grande, garantimos que , o que satisfaz a condição acima.

Passo 5

Concluímos, portanto, que conforme tende ao infinito, se aproxima cada vez mais de zero.

Resposta

lim n infty 1r^n = 0

Exercícios relacionados