Considere a lei de um gás ideal confinado, para k=10. Determine a taxa de variação da temperatura no instante em que o volume do gás é de 120 cm^3 e o gás está sob pressão de 8 din / cm^2, sabendo que o volume cresce à razão de 2 cm^3 / seg e a pressão decresce à razão de 0.1 din / cm^2.

Passo 1

Temos a lei do gás ideal confinado dada por P,V = k,T com k = 10. No instante considerado sabemos que V = 120,cm^3, P = 8,din/cm^2, dot V = 2,cm^3/s e dot P = -0.1,din/(cm^2cdots). Nosso objetivo é encontrar dot T.

Passo 2

Para relacionar as taxas de variação, diferenciamos em relação ao tempo a equação P,V = k,T. Como o lado esquerdo é produto de duas funções de t, usamos a regra do produto:
ddt(P,V)=P,dot V + V,dot P
O lado direito é k constante vezes T, então
ddt(k,T)=k,dot T

Passo 3

Igualando as duas derivadas temos
P,dot V + V,dot P = k,dot T

Passo 4

Isolando dot T:
dot T = P,dot V + V,dot Pk

Passo 5

Substituindo os valores numéricos:
P,dot V = 8 times 2 = 16, V,dot P = 120 times (-0.1) = -12
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dot T = 16 + (-12)10 = 410 = 0.4

Resposta

A taxa de variação da temperatura é 0.4 unidades de temperatura por segundo.

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