Calcule nabla cdot(F times G).
23 l F(x, y, z)=2 x i+j+4 y k G(x, y, z)=x i+y j-z k

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular o divergente do produto vetorial entre dois vetores, ou seja, nabla cdot (F times G). Aqui, estamos trabalhando com cálculo vetorial, especificamente com operações de divergente e produto vetorial. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as definições de divergente, produto vetorial e também algumas propriedades dessas operações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o produto vetorial entre dois vetores F e G é dado por:
F times G = i & j & k Fx & Fy & Fz Gx & Gy & Gz
Onde F = Fx i + Fy j + Fz k e G = Gx i + Gy j + Gz k.

Passo 3

Vamos calcular o produto vetorial F times G usando a determinante:
F times G = ( Fy Gz - Fz Gy ) i - ( Fx Gz - Fz Gx ) j + ( Fx Gy - Fy Gx ) k
Substituindo os componentes de F e G:
F = 2x i + 1 j + 4y k
G = x i + y j - z k
Calculando cada termo:
Fy Gz - Fz Gy = 1 cdot (-z) - 4y cdot y = -z - 4y^2
Fx Gz - Fz Gx = 2x cdot (-z) - 4y cdot x = -2xz - 4xy
Fx Gy - Fy Gx = 2x cdot y - 1 cdot x = 2xy - x = x(2y - 1)
Então,
F times G = (-z - 4y^2) i - (-2xz - 4xy) j + x(2y - 1) k
= (-z - 4y^2) i + (2xz + 4xy) j + x(2y - 1) k

Passo 4

Agora, precisamos calcular o divergente desse vetor resultante. O divergente de um vetor A = Ax i + Ay j + Az k é dado por:
nabla cdot A = partial Axpartial x + partial Aypartial y + partial Azpartial z
Aplicando isso ao nosso vetor F times G:
F times G = (-z - 4y^2) i + (2xz + 4xy) j + x(2y - 1) k
Vamos calcular cada derivada parcial:
partialpartial x (-z - 4y^2) = 0
partialpartial y (2xz + 4xy) = 4x
partialpartial z [x(2y - 1)] = 0

Resposta

Somando as derivadas parciais:
nabla cdot (F times G) = 0 + 4x + 0 = 4x
Portanto, o divergente de (F times G) é 4x.

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