Ache o volume do sólido no primeiro octante, limitado abaixo pelo plano x y, acima pelo plano z=y e lateralmente pela curva y^2=x e pelo plano x=1.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de geometria no espaço tridimensional. A pergunta é para encontrar o volume de um sólido que está no primeiro octante. Esse sólido é limitado por alguns planos e curvas: está abaixo pelo plano xy (que é basicamente o chão), acima pelo plano z = y, de um lado pela curva y^2 = x e do outro pelo plano x = 1. Para resolver isso, vamos usar cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais duplas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região onde vamos calcular o volume. No primeiro octante, todas as coordenadas x, y e z são positivas. A curva y^2 = x e o plano x = 1 vão definir os limites para x e y. Para y, vamos ver que ela varia de 0 até raiz1 = 1, porque quando x = 1, y^2 = 1.

Passo 3

Agora, para cada valor de y, o x varia de y^2 até 1. Isso porque na curva y^2 = x, para cada y, o menor x é y^2, e o limite superior é x = 1. Então, podemos descrever a região de integração da seguinte maneira:
0 <= y <= 1 y^2 <= x <= 1

Passo 4

O próximo passo é identificar os limites para z. Sabemos que o sólido está limitado abaixo pelo plano xy (onde z = 0) e acima pelo plano z = y. Então, para cada ponto (x, y) na região que definimos, z vai de 0 até y. Ou seja:
0 <= z <= y

Passo 5

Agora, vamos montar a integral tripla para calcular o volume. Primeiro, integramos em relação a z, depois a x e por último a y. A integral fica assim:
V = integral0^1 integraly^2^1 integral0^y dz , dx , dy

Passo 6

Vamos resolver a integral em z primeiro:
integral0^y dz = y - 0 = y
Então, a integral agora fica:
V = integral0^1 integraly^2^1 y , dx , dy

Passo 7

Agora, integramos em relação a x:
integraly^2^1 y , dx = y(x) |y^2^1 = y(1 - y^2)
A integral agora é:
V = integral0^1 y(1 - y^2) , dy

Passo 8

Vamos expandir a expressão dentro da integral:
y(1 - y^2) = y - y^3
Então, a integral fica:
V = integral0^1 (y - y^3) , dy

Passo 9

Agora, integramos cada termo separadamente:
integral0^1 y , dy = y^22 |0^1 = 12 integral0^1 y^3 , dy = y^44 |0^1 = 14
Subtraindo:
V = 12 - 14 = 14

Resposta

O volume do sólido é 14 unidades cúbicas.

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