Ache o volume do sólido no primeiro octante, limitado abaixo pelo plano , acima pelo plano e lateralmente pela curva e pelo plano .
Passo 1
Então, a gente tem um exercício de geometria no espaço tridimensional. A pergunta é para encontrar o volume de um sólido que está no primeiro octante. Esse sólido é limitado por alguns planos e curvas: está abaixo pelo plano (que é basicamente o chão), acima pelo plano , de um lado pela curva e do outro pelo plano . Para resolver isso, vamos usar cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais duplas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região onde vamos calcular o volume. No primeiro octante, todas as coordenadas , e são positivas. A curva e o plano vão definir os limites para e . Para , vamos ver que ela varia de 0 até , porque quando , .
Passo 3
Agora, para cada valor de , o varia de até 1. Isso porque na curva , para cada , o menor é , e o limite superior é . Então, podemos descrever a região de integração da seguinte maneira:
Passo 4
O próximo passo é identificar os limites para . Sabemos que o sólido está limitado abaixo pelo plano (onde ) e acima pelo plano . Então, para cada ponto na região que definimos, vai de 0 até . Ou seja:
Passo 5
Agora, vamos montar a integral tripla para calcular o volume. Primeiro, integramos em relação a , depois a e por último a . A integral fica assim:
Passo 6
Vamos resolver a integral em primeiro:
Então, a integral agora fica:
Passo 7
Agora, integramos em relação a :
A integral agora é:
V = integral0^1 y(1 - y^2) , dy
Passo 8
Vamos expandir a expressão dentro da integral:
y(1 - y^2) = y - y^3
Então, a integral fica:
V = integral0^1 (y - y^3) , dy
Passo 9
Agora, integramos cada termo separadamente:
integral0^1 y , dy = y^22 |0^1 = 12 integral0^1 y^3 , dy = y^44 |0^1 = 14