Calcule as integrais iteradas:
Passo 1
Vamos resolver a integral tripla dada:
Essa integral está em coordenadas esféricas, onde
representa a distância do ponto à origem,
é o ângulo azimutal e
é o ângulo polar. Para resolver, vamos integrar cada variável passo a passo, começando por
, depois
e por fim
.
Passo 2
Primeiro, vamos integrar em relação a
. A integral em
é:
Como a função a ser integrada é 1 em relação a
, a integral resulta simplesmente no comprimento do intervalo de integração:
Passo 3
Agora, substituímos o resultado da integral de
na integral de
. Temos:
Aqui,
é tratada como uma constante em relação a
. Vamos integrar
em relação a
:
Aplicando os limites de integração:
Portanto, a integral se torna:
Passo 4
Agora, vamos integrar em relação a
:
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição. Seja
, então
. Alterando os limites:
- Quando
, - Quando
,
A integral fica:
Integrando
:
Aplicando os limites:
Resposta
Substituindo na expressão anterior:
Portanto, o valor da integral é
.