Calcule as integrais iteradas:
integral0^pi4 integral0^2 a cos phi integral0^2 pi r^2 sen phi d theta d r d phi

Passo 1

Vamos resolver a integral tripla dada:
integral0^pi4 integral0^2 a cos phi integral0^2 pi r^2 sin phi , dtheta , dr , dphi
Essa integral está em coordenadas esféricas, onde r representa a distância do ponto à origem, theta é o ângulo azimutal e phi é o ângulo polar. Para resolver, vamos integrar cada variável passo a passo, começando por theta , depois r e por fim phi .

Passo 2

Primeiro, vamos integrar em relação a theta . A integral em theta é:
integral0^2 pi dtheta
Como a função a ser integrada é 1 em relação a theta , a integral resulta simplesmente no comprimento do intervalo de integração:
integral0^2 pi dtheta = 2pi

Passo 3

Agora, substituímos o resultado da integral de theta na integral de r . Temos:
2pi integral0^2 a cos phi r^2 sin phi , dr
Aqui, sin phi é tratada como uma constante em relação a r . Vamos integrar r^2 em relação a r :
integral r^2 , dr = r^33
Aplicando os limites de integração:
(2 a cos phi)^33 - 0^33 = 8 a^3 cos^3 phi3
Portanto, a integral se torna:
2pi cdot 8 a^3 cos^3 phi3 sin phi = 16 pi a^33 cos^3 phi sin phi

Passo 4

Agora, vamos integrar em relação a phi :
16 pi a^33 integral0^pi4 cos^3 phi sin phi , dphi
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição. Seja u = cos phi , então du = -sin phi , dphi . Alterando os limites:
  • Quando phi = 0 , u = cos 0 = 1
  • Quando phi = pi4 , u = cos pi4 = raiz22
A integral fica:
-16 pi a^33 integral1^raiz22 u^3 , du = 16 pi a^33 integralraiz22^1 u^3 , du
Integrando u^3 :
integral u^3 , du = u^44
Aplicando os limites:
1^44 - ( raiz22 )^44 = 14 - 4164 = 14 - 116 = 316

Resposta

Substituindo na expressão anterior:
16 pi a^33 cdot 316 = pi a^3
Portanto, o valor da integral é pi a^3 .

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