Um retângulo tem perímetro de 20 cm . Quais devem ser suas dimensões para área máxima?
Passo 1
O enunciado diz que um retângulo tem perímetro de 20 cm e pede as dimensões que maximizam sua área. O conteúdo usado aqui é otimização de função com restrição e cálculo de derivada.
Passo 2
Definimos as variáveis
e
como os comprimentos dos lados do retângulo. A restrição do perímetro é
logo podemos isolar
Passo 3
A área do retângulo é
Substituindo a expressão de
, obtemos a função de área em função de
:
Passo 4
Para encontrar o máximo, calculamos a derivada de
:
Igualando a zero para achar ponto crítico:
Passo 5
Verificamos que é de fato um máximo usando a segunda derivada:
então
cm dá o máximo de área.
Passo 6
Substituindo
em
, vem
Resposta
As dimensões que maximizam a área são
cm por
cm.