Um retângulo tem perímetro de 20 cm . Quais devem ser suas dimensões para área máxima?

Passo 1

O enunciado diz que um retângulo tem perímetro de 20 cm e pede as dimensões que maximizam sua área. O conteúdo usado aqui é otimização de função com restrição e cálculo de derivada.

Passo 2

Definimos as variáveis x e y como os comprimentos dos lados do retângulo. A restrição do perímetro é
2(x + y) = 20,
logo podemos isolar
y = 10 - x

Passo 3

A área do retângulo é
A = x,y
Substituindo a expressão de y, obtemos a função de área em função de x:
A(x) = x,(10 - x) = 10x - x^2

Passo 4

Para encontrar o máximo, calculamos a derivada de A(x):
A'(x) = 10 - 2x
Igualando a zero para achar ponto crítico:
10 - 2x = 0 Longrightarrow x = 5

Passo 5

Verificamos que é de fato um máximo usando a segunda derivada:
A''(x) = -2 < 0,
então x = 5 cm dá o máximo de área.

Passo 6

Substituindo x = 5 em y = 10 - x, vem
y = 10 - 5 = 5 cm

Resposta

As dimensões que maximizam a área são 5 cm por 5 cm.

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