Calcule limites abaixo.
a) lim x 0 (1+x)^1 / 3-(1-x)^1 / 5(1+x)^1 / 3-(1-x)^1 / 3

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo! Precisamos calcular o limite quando x se aproxima de 0 da seguinte expressão:
limx 0 (1+x)^1/3 - (1-x)^1/5(1+x)^1/3 - (1-x)^1/3
Aqui, estamos lidando com limites envolvendo potências fracionárias. Para resolver isso, vamos usar a aproximação de binômio de Taylor para expandir as expressões com (1+x)^k quando x está próximo de 0. Isso nos ajudará a simplificar a expressão e encontrar o limite.

Passo 2

Primeiro, vamos aproximar cada termo da expressão usando a expansão de Taylor para (1 + x)^k quando x é pequeno. A expansão de Taylor de primeira ordem é:
(1 + x)^k approx 1 + kx
Vamos aplicar isso a cada parte da nossa expressão.

Passo 3

Vamos começar com o numerador:
(1 + x)^1/3 approx 1 + 13x
(1 - x)^1/5 approx 1 - 15x
Subtraindo esses dois resultados:
(1 + x)^1/3 - (1 - x)^1/5 approx (1 + 13x) - (1 - 15x) = 13x + 15x = 815x

Passo 4

Agora, vamos aproximar o denominador:
(1 + x)^1/3 approx 1 + 13x
(1 - x)^1/3 approx 1 - 13x
Subtraindo esses dois resultados:
(1 + x)^1/3 - (1 - x)^1/3 approx (1 + 13x) - (1 - 13x) = 23x

Passo 5

Agora que temos as aproximações para o numerador e o denominador, podemos substituir na expressão original:
(1+x)^1/3 - (1-x)^1/5(1+x)^1/3 - (1-x)^1/3 approx 815x23x
Podemos simplificar essa fração dividindo os coeficientes:
815x23x = 815 div 23 = 815 times 32 = 2430 = 45

Resposta

O limite é igual a 45 .

Exercícios relacionados