Para f(x)=1x^2+1, determine:
a) Pontos críticos.
b) Intervalos de crescimento.

Passo 1

O enunciado pede que, para a função
f(x)=1x^2+1,
encontremos (a) os pontos críticos, ou seja, os x em que f'(x)=0 ou f' é indefinida, e (b) os intervalos em que f cresce, ou seja, onde f'(x)>0. Vamos usar cálculo de derivada e estudo de sinal.

Passo 2

Para calcular f'(x), note que f(x)=(x^2+1)^-1. Aplicando a regra da cadeia,
f'(x) = -1cdot(x^2+1)^-2cdot 2x = -2x(x^2+1)^2

Passo 3

Os pontos críticos são onde f'(x)=0 ou f' não existe. O denominador (x^2+1)^2 é sempre positivo, logo f' existe em todo R. Impomos
-2x(x^2+1)^2 = 0
quando o numerador -2x=0, isto é, x=0. Assim, o único ponto crítico é
x=0

Passo 4

Para determinar onde f cresce, analisamos o sinal de
f'(x) = -2x(x^2+1)^2
O denominador é sempre positivo, então o sinal vem de -2x. Se x<0, então -2x>0 e f'(x)>0. Se x>0, então -2x<0 e f'(x)<0. Portanto, f cresce em
(-infty,0)
e decresce em
(0,infty)

Resposta

a) O único ponto crítico é x=0.
b) f cresce no intervalo (-infty,0).

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