Ache o volume do sólido do primeiro octante, limitado abaixo pelo plano
, acima pelo plano
e lateralmente pelo cilindro
e pelo plano
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido no primeiro octante. Isso significa que estamos trabalhando com coordenadas onde
,
e
são todas positivas. O sólido está limitado:
- Abaixo pelo plano
, - Acima pelo plano
, - Lateralmente pelo cilindro
e pelo plano .
Vamos usar cálculo integral para encontrar esse volume. Precisaremos entender como esses limites se comportam no espaço tridimensional para montar os limites de integração corretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região no plano
onde o sólido está localizado. No plano
, temos:
- A curva
, que é uma parábola abrindo para a direita. - A linha vertical
.
Queremos a região entre essas duas curvas no primeiro octante, ou seja, onde
e
.
Passo 3
Para definir os limites de integração, vamos determinar os valores de
e
:
- Para
: A parábola intersecta quando , ou seja, . Então, varia de 0 a 1. - Para
: Para cada valor de , vai de até 1.
Passo 4
Agora, vamos considerar o limite superior para
. O sólido está limitado acima pelo plano
e abaixo pelo plano
(
). Então, para cada ponto
na região
,
varia de 0 até
.
Passo 5
Com todos os limites definidos, podemos montar a integral tripla para calcular o volume
:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 6
Primeiro, integramos em relação a
:
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, integramos em relação a
:
Então, a integral fica:
Passo 8
Finalmente, integramos em relação a
:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.