Ache o volume do sólido do primeiro octante, limitado abaixo pelo plano x y, acima pelo plano z = y e lateralmente pelo cilindro y^2 = x e pelo plano x = 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido no primeiro octante. Isso significa que estamos trabalhando com coordenadas onde , e são todas positivas. O sólido está limitado:
  • Abaixo pelo plano ,
  • Acima pelo plano ,
  • Lateralmente pelo cilindro e pelo plano .
Vamos usar cálculo integral para encontrar esse volume. Precisaremos entender como esses limites se comportam no espaço tridimensional para montar os limites de integração corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região no plano onde o sólido está localizado. No plano , temos:
  • A curva , que é uma parábola abrindo para a direita.
  • A linha vertical .
Queremos a região entre essas duas curvas no primeiro octante, ou seja, onde e .

Passo 3

Para definir os limites de integração, vamos determinar os valores de e :
  • Para : A parábola intersecta quando , ou seja, . Então, varia de 0 a 1.
  • Para : Para cada valor de , vai de até 1.

Passo 4

Agora, vamos considerar o limite superior para . O sólido está limitado acima pelo plano e abaixo pelo plano ( ). Então, para cada ponto na região , varia de 0 até .

Passo 5

Com todos os limites definidos, podemos montar a integral tripla para calcular o volume :
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 6

Primeiro, integramos em relação a :
Então, a integral fica:

Passo 7

Agora, integramos em relação a :
Então, a integral fica:

Passo 8

Finalmente, integramos em relação a :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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