Dê um exemplo em que sumn=1^infty an converge, mas sumn=1^infty an^2 diverge.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar um exemplo de uma série que converge, mas cuja série dos quadrados diverge. Para isso, vamos precisar entender sobre séries convergentes e teste da série p.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma série converge se a soma dos seus termos tende a um limite finito quando vai para o infinito. Por outro lado, a série é simplesmente a soma dos quadrados dos termos da primeira série.

Passo 3

Uma ferramenta útil para analisar a convergência de séries é o Teste da Série p. Ele nos diz que a série converge se e diverge se . Vamos usar isso para construir nosso exemplo.

Passo 4

Vamos escolher de forma que a série converja, mas não. Pensemos em .

Passo 5

Agora, analisando a série :
  • Convergência da : Essa é uma série alternada (os termos mudam de sinal). Pelo Teste da Série Alternada, se os termos em módulo diminuem de forma monótona para zero, a série converge. Aqui, diminui e tende a zero conforme aumenta, então a série converge.
  • Divergência da : Calculando . A série é a famosa Série Harmônica, que sabemos que diverge pelo Teste da Série p (com ).

Resposta

Um exemplo é a série , pois converge, mas diverge.

Exercícios relacionados