Dê um exemplo em que
converge, mas
diverge.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar um exemplo de uma série
que converge, mas cuja série dos quadrados
diverge. Para isso, vamos precisar entender sobre séries convergentes e teste da série p.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma série
converge se a soma dos seus termos tende a um limite finito quando
vai para o infinito. Por outro lado, a série
é simplesmente a soma dos quadrados dos termos da primeira série.
Passo 3
Uma ferramenta útil para analisar a convergência de séries é o Teste da Série p. Ele nos diz que a série
converge se
e diverge se
. Vamos usar isso para construir nosso exemplo.
Passo 4
Vamos escolher
de forma que a série
converja, mas
não. Pensemos em
.
Passo 5
Agora, analisando a série
:
-
Convergência da
: Essa é uma série alternada (os termos mudam de sinal). Pelo Teste da Série Alternada, se os termos em módulo diminuem de forma monótona para zero, a série converge. Aqui, diminui e tende a zero conforme aumenta, então a série converge. -
Divergência da
: Calculando . A série é a famosa Série Harmônica, que sabemos que diverge pelo Teste da Série p (com ).
Resposta
Um exemplo é a série
, pois
converge, mas
diverge.