Use os critérios vistos em sala para determinar se as séries a seguir são convergentes ou divergentes.
sumn=1^infty e^-nn

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa determinar se a série sumn=1^infty e^-nn converge ou diverge. Para isso, vamos usar alguns critérios de convergência de séries que estudamos em sala. Precisamos entender como a série se comporta quando n fica grande e aplicar um teste que nos ajude a decidir se ela soma a um valor finito ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar um pouco a expressão da série. Sabemos que e^-n é igual a (1e)^n. Então, a série fica:
sumn=1^infty (1e)^nn
Isso ajuda a visualizar que temos uma sequência cujo termo geral é uma fração com (1e)^n no numerador e n no denominador.

Passo 3

Agora, para determinar a convergência dessa série, vamos usar o Teste da Razão (ou Teste de D’Alembert). Esse teste funciona assim:
Chama-se L o limite quando n tende ao infinito de |an+1an|. Se L < 1, a série converge; se L > 1, a série diverge; e se L = 1, o teste não é conclusivo.

Passo 4

Vamos aplicar o Teste da Razão à nossa série. Primeiro, identificamos o termo geral an = (1e)^nn. Ent��o, calculamos an+1:
an+1 = (1e)^n+1n+1
Agora, vamos formar a razão an+1an:
an+1an = (1e)^n+1n+1 div (1e)^nn = (1e)^n+1 cdot n(1e)^n cdot (n+1) = 1e cdot nn+1 = ne(n+1)

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite de ne(n+1) quando n tende ao infinito:
L = limn to infty ne(n+1) = limn to infty ne n + e = limn to infty 1e + en = 1e + 0 = 1e
Como e approx 2,718, temos que 1e approx 0,3679.

Passo 6

De acordo com o Teste da Razão, se L < 1, a série converge. No nosso caso, L = 1e approx 0,3679 < 1. Portanto, a série sumn=1^infty e^-nn é convergente.

Resposta

A série sumn=1^infty e^-nn converge.

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