Use os critérios vistos em sala para determinar se as séries a seguir são convergentes ou divergentes.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa determinar se a série
converge ou diverge. Para isso, vamos usar alguns critérios de convergência de séries que estudamos em sala. Precisamos entender como a série se comporta quando n fica grande e aplicar um teste que nos ajude a decidir se ela soma a um valor finito ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar um pouco a expressão da série. Sabemos que
é igual a
. Então, a série fica:
Isso ajuda a visualizar que temos uma sequência cujo termo geral é uma fração com
no numerador e
no denominador.
Passo 3
Agora, para determinar a convergência dessa série, vamos usar o Teste da Razão (ou Teste de D’Alembert). Esse teste funciona assim:
Chama-se
o limite quando n tende ao infinito de
. Se L < 1, a série converge; se L > 1, a série diverge; e se L = 1, o teste não é conclusivo.
Passo 4
Vamos aplicar o Teste da Razão à nossa série. Primeiro, identificamos o termo geral
. Ent��o, calculamos
:
Agora, vamos formar a razão
:
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite de
quando n tende ao infinito:
Como
, temos que
.
Passo 6
De acordo com o Teste da Razão, se
, a série converge. No nosso caso,
. Portanto, a série
é convergente.
Resposta
A série
converge.