Calcule as seguintes integrais triplas. integral0^2 integral0^y integral0^raiz3 z zz^2+x^2 d x d z d y

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos que calcular uma integral tripla, ou seja, uma integral que envolve três variáveis , e . A função a ser integrada é e os limites de integração são dados para cada variável. Para resolver isso, vamos integrar passo a passo, começando por , depois e finalmente .

Passo 2

Vamos começar integrando em relação a integral0^raiz3 z zz^2 + x^2 , dx . A integral interna é:
Aqui, é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a .

Passo 3

Podemos reescrever a integral assim:
z integral0^raiz3 z 1z^2 + x^2 , dx
Sabemos que a integral de integral 1a^2 + x^2 , dx = 1a tan^-1( xa ) + C em relação a é:

Passo 4

Aplicando essa fórmula com z [ 1z tan^-1( xz ) ]0^raiz3 z = tan^-1(raiz3) - tan^-1(0) , temos:
Sabemos que e .

Passo 5

Portanto, a integral em relação a pi3 fica:

Passo 6

Agora, a integral tripla se simplifica para:
integral0^2 integral0^y pi3 , dz , dy

Passo 7

Vamos integrar em relação a pi3 integral0^2 [ z ]0^y , dy = pi3 integral0^2 y , dy :

Passo 8

Finalmente, integramos em relação a pi3 [ y^22 ]0^2 = pi3 cdot 42 = pi3 cdot 2 = 2pi3 :

Resposta

A integral tripla vale .

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