Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve uma integral tripla. A gente precisa calcular a integral . Para isso, vamos usar o conteúdo de cálculo integral, especificamente a troca para coordenadas esféricas, que vai facilitar bastante a nossa vida nessa resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. Os limites das variáveis , e indicam que estamos integrando sobre uma esfera de raio 2 na primeira octante (onde , e são positivos). Isso porque .
Passo 3
Para facilitar a integração, vamos trocar para coordenadas esféricas. Nas coordenadas esféricas, as variáveis são (raio), (ângulo no plano ) e (ângulo com o eixo ). As relações são:
O elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por:
Passo 4
Agora, vamos reescrever a nossa integral em coordenadas esféricas. O integrando se simplifica para . Então, a integral fica:
Note que os limites mudaram para de 0 a 2, de 0 a e de 0 a por estarmos na primeira octante.
Passo 5
Simplificando a integral, percebemos que . Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos integrar em relação a primeiro:
Então, a integral agora é:
Passo 7
Agora, integramos em relação a :
Então, a integral fica:
Passo 8
Por fim, integramos em relação a integral0^pi2 dtheta = pi2 :