Calcule as seguintes integrais triplas. integral0^2 integral0^raiz4-y^2 integral0^raiz4-x^2-y^2 1x^2+y^2+z^2 d z d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve uma integral tripla. A gente precisa calcular a integral . Para isso, vamos usar o conteúdo de cálculo integral, especificamente a troca para coordenadas esféricas, que vai facilitar bastante a nossa vida nessa resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. Os limites das variáveis , e indicam que estamos integrando sobre uma esfera de raio 2 na primeira octante (onde , e são positivos). Isso porque .

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos trocar para coordenadas esféricas. Nas coordenadas esféricas, as variáveis são x = r sin phi cos theta (raio), y = r sin phi sin theta (ângulo no plano z = r cos phi ) e dV = r^2 sin phi , dr , dphi , dtheta (ângulo com o eixo ). As relações são:
O elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por:

Passo 4

Agora, vamos reescrever a nossa integral em coordenadas esféricas. O integrando integral0^pi2 integral0^pi2 integral0^2 1r^2 cdot r^2 sin phi , dr , dphi , dtheta se simplifica para . Então, a integral fica:
Note que os limites mudaram para de 0 a 2, de 0 a e de 0 a por estarmos na primeira octante.

Passo 5

Simplificando a integral, percebemos que integral0^pi2 integral0^pi2 integral0^2 sin phi , dr , dphi , dtheta . Então, a integral fica:

Passo 6

Vamos integrar em relação a integral0^2 dr = 2 primeiro:
2 integral0^pi2 integral0^pi2 sin phi , dphi , dtheta
Então, a integral agora é:

Passo 7

Agora, integramos em relação a integral0^pi2 sin phi , dphi = -cos phi |0^pi2 = -cos(pi2) + cos(0) = 0 + 1 = 1 :
2 times 1 times integral0^pi2 dtheta = 2 integral0^pi2 dtheta
Então, a integral fica:

Passo 8

Por fim, integramos em relação a integral0^pi2 dtheta = pi2 :
2 times pi2 = pi
Multiplicando tudo, temos:

Resposta

A integral tripla vale .

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