Ache o volume do sólido de revolução gerado quando a região limitada pela curva
, pelo eixo x e pelas retas
:
A região é rotacionada em torno do eixo y;
A região é rotacionada em torno do eixo y;
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a gente precisa fazer aqui! O exercício pede pra gente encontrar o volume de um sólido que é gerado ao girar a região limitada pela curva
, o eixo
, e as retas
e
ao redor do eixo
. Para resolver isso, vamos usar um método de cálculo de volumes de sólidos de revolução, especificamente o método das cascas cilíndricas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender qual método usar. Quando a gente tem uma região sendo girada em torno do eixo
, o método das cascas cilíndricas é bem útil. Esse método envolve imaginar a região como uma série de cascas (cilindros finos) e calcular o volume total somando todos esses pequenos volumes.
Passo 3
Agora, vamos configurar a integral usando o método das cascas cilíndricas. A fórmula geral para o volume
usando esse método é:
Aqui,
é a distância da casca ao eixo de rotação (no caso, o eixo
), e
é a altura da casca. No nosso caso, a altura
é simplesmente a função
.
Passo 4
Vamos substituir os valores na fórmula. Os limites de integração
e
são de
até
:
Agora, vamos calcular a integral de
:
Então, substituindo os limites:
Passo 5
Finalmente, vamos simplificar a expressão:
Resposta
O volume do sólido de revolução é
unidades cúbicas.