Ache o volume do sólido de revolução gerado quando a região limitada pela curva y=x^3, pelo eixo x e pelas retas x=1 e x=2 :
A região é rotacionada em torno do eixo y;

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente precisa fazer aqui! O exercício pede pra gente encontrar o volume de um sólido que é gerado ao girar a região limitada pela curva y = x^3 , o eixo x , e as retas x = 1 e x = 2 ao redor do eixo y . Para resolver isso, vamos usar um método de cálculo de volumes de sólidos de revolução, especificamente o método das cascas cilíndricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender qual método usar. Quando a gente tem uma região sendo girada em torno do eixo y , o método das cascas cilíndricas é bem útil. Esse método envolve imaginar a região como uma série de cascas (cilindros finos) e calcular o volume total somando todos esses pequenos volumes.

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral usando o método das cascas cilíndricas. A fórmula geral para o volume V usando esse método é:
V = 2pi integrala^b x cdot h(x) , dx
Aqui, x é a distância da casca ao eixo de rotação (no caso, o eixo y ), e h(x) é a altura da casca. No nosso caso, a altura h(x) é simplesmente a função y = x^3 .

Passo 4

Vamos substituir os valores na fórmula. Os limites de integração a e b são de x = 1 até x = 2 :
V = 2pi integral1^2 x cdot x^3 , dx = 2pi integral1^2 x^4 , dx
Agora, vamos calcular a integral de x^4 :
integral x^4 , dx = x^55
Então, substituindo os limites:
V = 2pi [ x^55 ]1^2 = 2pi ( 2^55 - 1^55 ) = 2pi ( 325 - 15 ) = 2pi ( 315 )

Passo 5

Finalmente, vamos simplificar a expressão:
V = 62pi5

Resposta

O volume do sólido de revolução é 62pi5 unidades cúbicas.

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