Ache o volume do sólido de revolução gerado quando a região limitada pela curva , pelo eixo x e pelas retas :
A região é rotacionada em torno da reta ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Cálculo sobre volumes de sólidos de revolução. O enunciado pede pra encontrar o volume do sólido que forma quando a região limitada pela curva , pelo eixo , e pelas retas e é girada em torno da reta . Vamos precisar usar o método dos discos ou anéis e integrar para encontrar esse volume.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região que estamos girando. A curva entre e está acima do eixo . Quando giramos essa área em torno da reta , cada “fatia” da região forma um anel.
Passo 3
Vamos usar o método dos anéis para calcular o volume. Esse método funciona bem quando rotacionamos em torno de uma linha paralela ao eixo das abscissas (no nosso caso, a reta ).
Passo 4
A fórmula do volume pelo método dos anéis é:
Onde:
é a distância do eixo de rotação à função externa.
é a distância do eixo de rotação à função interna.
Passo 5
No nosso caso:
A função externa é a reta .
A função interna é a curva .
Então:
Passo 6
Agora, substituímos na fórmula:
Vamos simplificar dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 7
Vamos calcular a integral:
integral1^2 x^6 dx = x^77 |1^2 = 1287 - 17 = 1277
Então:
V = pi (60 - 1277) = pi ( 4207 - 1277 ) = pi cdot 2937 = 293pi7
Resposta
O volume do sólido de revolução é 293pi7 unidades cúbicas.