Ache o volume do sólido de revolução gerado quando a região limitada pela curva y=x^3, pelo eixo x e pelas retas x=1 e x=2 :
A região é rotacionada em torno da reta y=8;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Cálculo sobre volumes de sólidos de revolução. O enunciado pede pra encontrar o volume do sólido que forma quando a região limitada pela curva y = x^3 , pelo eixo x , e pelas retas x = 1 e x = 2 é girada em torno da reta y = 8 . Vamos precisar usar o método dos discos ou anéis e integrar para encontrar esse volume.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região que estamos girando. A curva y = x^3 entre x = 1 e x = 2 está acima do eixo x . Quando giramos essa área em torno da reta y = 8 , cada “fatia” da região forma um anel.

Passo 3

Vamos usar o método dos anéis para calcular o volume. Esse método funciona bem quando rotacionamos em torno de uma linha paralela ao eixo das abscissas (no nosso caso, a reta y = 8 ).

Passo 4

A fórmula do volume pelo método dos anéis é:
V = pi integrala^b ( R(x)^2 - r(x)^2 ) dx
Onde:
  • R(x) é a distância do eixo de rotação à função externa.
  • r(x) é a distância do eixo de rotação à função interna.

Passo 5

No nosso caso:
  • A função externa é a reta y = 8 .
  • A função interna é a curva y = x^3 .
Então:
R(x) = 8 - 0 = 8 (pois a parte externa está sempre a 8 unidades do eixo) á
r(x) = 8 - x^3

Passo 6

Agora, substituímos na fórmula:
V = pi integral1^2 (8^2 - (8 - x^3)^2) dx
Vamos simplificar dentro da integral:
8^2 = 64
(8 - x^3)^2 = 64 - 16x^3 + x^6
64 - (64 - 16x^3 + x^6) = 16x^3 - x^6
Então, a integral fica:
V = pi integral1^2 (16x^3 - x^6) dx

Passo 7

Vamos calcular a integral:
integral1^2 16x^3 dx = 16 cdot x^44 |1^2 = 4x^4 |1^2 = 4(16 - 1) = 60
integral1^2 x^6 dx = x^77 |1^2 = 1287 - 17 = 1277
Então:
V = pi (60 - 1277) = pi ( 4207 - 1277 ) = pi cdot 2937 = 293pi7

Resposta

O volume do sólido de revolução é 293pi7 unidades cúbicas.

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