Sejam W=(ll1 & 2 3 & 4) e T o operador linear em R^2 definido por
T(v)=W[v]A, v in R^2
onde [v]A denota a matriz das coordenadas do vetor v em relação à base canônica A de R^2. Determine a matriz do operador T em cada uma das bases de R^2 seguintes:
(b) B2=(1,3),(2,5).

Passo 1

O enunciado pede a matriz de T na base B2=(1,3),(2,5). Como em coordenadas canônicas temos
T(v)=W,[v]A, W=1&23&4,
vamos usar a fórmula de mudança de base
[T]B2=P^-1,W,P,
onde P é a matriz cujas colunas são os vetores de B2 expressos na base canônica.

Passo 2

Construímos P com as colunas dadas pelos vetores de B2 nas coordenadas canônicas:
P = 1 & 2 3 & 5

Passo 3

Calculamos o determinante de P e sua inversa.
det(P)=1cdot5 - 2cdot3 = -1,
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P^-1 = 1det(P)5 & -2 -3 & 1 = -5 & 2 3 & -1

Passo 4

Multiplicamos W por P:
W,P = 1&23&4 1&23&5 = 7&1215&26

Passo 5

Finalmente, obtemos
[T]B2 = P^-1,(W,P) = -5&23&-1 7&1215&26 = -5 & -8 [6pt]6 & 10 ]

Resposta

A matriz de T na base B2 é
-5 & -8 6 & 10

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