Ache o volume do sólido de revolução gerado quando a região limitada pela curva y=x^3, pelo eixo x e pelas retas x=1 e x=2 :
A região é rotacionada em torno da reta x=3;

Passo 1

Beleza, vamos resolver um problema de cálculo de volume de um sólido de revolução. A gente tem a região limitada pela curva y = x^3 , pelo eixo x , e pelas retas x = 1 e x = 2 . Queremos descobrir o volume que essa região vai gerar quando giramos ela em torno da reta x = 3 . Para isso, vamos usar o método dos cilindros, que é uma técnica de integração bem útil nesses casos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o método dos cilindros (ou método das cascas cilíndricas). Esse método é usado para calcular volumes de sólidos de revolução quando a área é girada em torno de uma linha vertical ou horizontal. A ideia é imaginar a região sendo cortada em fatias fininhas, que, ao girar, formam cilindros. A gente calcula o volume de cada cilindro e soma tudo isso integrando.

Passo 3

No nosso caso, estamos girando em torno da reta x = 3 , que é uma linha vertical. Então, vamos considerar uma fatia vertical da região em um ponto x entre 1 e 2. O raio desse cilindro será a distância entre x e 3, ou seja, r = 3 - x .

Passo 4

A altura do cilindro é dada pelo valor da função y = x^3 nesse ponto, já que a região está limitada pelo eixo x (onde y = 0 ) e pela curva y = x^3 . Então, a altura h = x^3 .

Passo 5

Agora, o volume de um cilindro é dado por V = 2pi r h . Substituindo o raio e a altura que encontramos:
V = 2pi (3 - x) x^3

Passo 6

Para encontrar o volume total, precisamos integrar essa expressão de x = 1 a x = 2 :
V = 2pi integral1^2 (3 - x) x^3 , dx

Passo 7

Vamos expandir a expressão dentro da integral:
(3 - x) x^3 = 3x^3 - x^4
Então, a integral fica:
V = 2pi integral1^2 (3x^3 - x^4) , dx

Passo 8

Vamos calcular a integral:
integral (3x^3 - x^4) , dx = 34x^4 - 15x^5 + C
Agora, aplicando os limites de integração de 1 a 2:
[ 34(2)^4 - 15(2)^5 ] - [ 34(1)^4 - 15(1)^5 ]
Calculando cada termo:
Para x = 2 :
34(16) - 15(32) = 12 - 325 = 12 - 6.4 = 5.6
Para x = 1 :
34(1) - 15(1) = 0.75 - 0.2 = 0.55
Subtraindo:
5.6 - 0.55 = 5.05

Passo 9

Agora, multiplicamos pelo 2pi :
V = 2pi times 5.05 = 10.1pi

Resposta

O volume do sólido de revolução é 10.1pi unidades cúbicas.

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