Ache o volume do sólido de revolução gerado quando a região limitada pela curva
, pelo eixo x e pelas retas
:
A região é rotacionada em torno da reta
;
A região é rotacionada em torno da reta
Passo 1
Beleza, vamos resolver um problema de cálculo de volume de um sólido de revolução. A gente tem a região limitada pela curva
, pelo eixo
, e pelas retas
e
. Queremos descobrir o volume que essa região vai gerar quando giramos ela em torno da reta
. Para isso, vamos usar o método dos cilindros, que é uma técnica de integração bem útil nesses casos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o método dos cilindros (ou método das cascas cilíndricas). Esse método é usado para calcular volumes de sólidos de revolução quando a área é girada em torno de uma linha vertical ou horizontal. A ideia é imaginar a região sendo cortada em fatias fininhas, que, ao girar, formam cilindros. A gente calcula o volume de cada cilindro e soma tudo isso integrando.
Passo 3
No nosso caso, estamos girando em torno da reta
, que é uma linha vertical. Então, vamos considerar uma fatia vertical da região em um ponto
entre 1 e 2. O raio desse cilindro será a distância entre
e 3, ou seja,
.
Passo 4
A altura do cilindro é dada pelo valor da função
nesse ponto, já que a região está limitada pelo eixo
(onde
) e pela curva
. Então, a altura
.
Passo 5
Agora, o volume de um cilindro é dado por
. Substituindo o raio e a altura que encontramos:
Passo 6
Para encontrar o volume total, precisamos integrar essa expressão de
a
:
Passo 7
Vamos expandir a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 8
Vamos calcular a integral:
Agora, aplicando os limites de integração de 1 a 2:
Calculando cada termo:
Para
:
Para
:
Subtraindo:
Passo 9
Agora, multiplicamos pelo
:
Resposta
O volume do sólido de revolução é
unidades cúbicas.