Mostre que o subespaço
é isomorfo ao subespaço
e exiba um isomorfismo entre estes subespaços vetoriais do espaço vetorial
.
Passo 1
O enunciado nos dá dois subespaços vetoriais:
e
.
Queremos mostrar que e construir um isomorfismo linear bijetivo
.
Queremos mostrar que
Passo 2
Parametrização de
.
Como e
, escrevemos
Como
com
.
Logo
Logo
o que mostra que
.
Passo 3
Parametrização de
.
Como , podemos tomar
Como
com
.
Então
Então
o que mostra que
.
Passo 4
Construção do isomorfismo.
Definimos
Definimos
Em
temos
e
, logo
pois
A linearidade de
é imediata e
é bijetora, pois sua inversa
satisfaz
e
.
Resposta
Um isomorfismo
é dado por
com inversa