Mostre que o subespaço W=(x, y, z, t) in R^4: x-y=z-2 t=0 é isomorfo ao subespaço U=(x, y, z) in R^3: x-y-z=0 e exiba um isomorfismo entre estes subespaços vetoriais do espaço vetorial R^4.

Passo 1

O enunciado nos dá dois subespaços vetoriais:
W=(x,y,z,t)inR^4: x-y=0,;z-2t=0 e
U=(x,y,z)inR^3: x-y-z=0.
Queremos mostrar que dim W=dim U e construir um isomorfismo linear bijetivo f:Wto U.

Passo 2

Parametrização de W.
Como x-y=0 e z-2t=0, escrevemos
x=y=s, t=u, z=2u,
com s,uinR.
Logo
W=(s,s,2u,u)mid s,uinR,
o que mostra que dim W=2.

Passo 3

Parametrização de U.
Como x-y-z=0, podemos tomar
y=a, z=b, x=a+b,
com a,binR.
Então
U=(a+b,a,b)mid a,binR,
o que mostra que dim U=2.

Passo 4

Construção do isomorfismo.
Definimos
f:Wto U, f(x,y,z,t) = (,x+t,;x,;t,)
Em W temos x=y e z=2t, logo f(x,y,z,t)=(x+t,x,t)in U pois
(x+t)-x-t=0
A linearidade de f é imediata e f é bijetora, pois sua inversa
f^-1:Uto W, f^-1(u,v,w)=(,v,v,2w,w,)
satisfaz f^-1(f(x,y,z,t))=(x,y,z,t) e f(f^-1(u,v,w))=(u,v,w).

Resposta

Um isomorfismo f:Wto U é dado por
f(x,y,z,t) = (x+t,;x,;t)
com inversa
f^-1(u,v,w) = (v,v,2w,w)

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