Verifique, em cada um dos itens abaixo, se os espaços vetoriais e são isomorfos, justificando a resposta.
(d) .
Passo 1
O enunciado pede para verificar se os espaços vetoriais
U = la & 00 & 0 : ainRr
e
V = ,pinmathscrP3(R): p'(t)=0 forall tinR
são isomorfos. O conteúdo principal aqui é usar dimensão de espaços vetoriais sobre R e a propriedade de que dois espaços vetoriais finito-dimensionais sobre o mesmo corpo e de mesma dimensão são isomorfos.
Passo 2
Vamos encontrar a dimensão de U. Um elemento de U tem a forma
a & 00 & 0,
onde a percorre R. Logo U é gerado por
E = 1 & 00 & 0
Portanto E é base de U e
dim(U) = 1
Passo 3
Agora a dimensão de V. A condição p'(t)=0 para todo t implica que p é constante, isto é
p(t)=c, cinR
Logo V é o espaço das polinômios constantes, gerado por 1. Assim
1
é base de V e
dim(V)=1
Passo 4
Como dim(U)=dim(V)=1 e ambos são espaços vetoriais sobre R, concluímos que U e V são isomorfos. Por exemplo, a aplicação
phi: U to V, phil(a&00&0r)=l(tmapsto ar)
é linear, bijetiva e preserva soma e multiplicação escalar.
Resposta
U e V são isomorfos, pois ambos têm dimensão 1 e há um isomorfismo explícito phi dado acima.