Ache o volume do sólido situado abaixo do gráfico da equação z=4 x^2+y^2 e acima da região do plano - xy delimitada pelo polígono de vértices (0,0),(0,1),(2,0),(2,1).

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido que fica abaixo da superfície
z = 4x^2 + y^2
e acima da região do plano xy limitada pelo polígono de vértices (0,0), (0,1), (2,0), (2,1). Reconhecemos que esse polígono é um retângulo com
0 <= x <= 2, 0 <= y <= 1
Para calcular volume, vamos usar a definição de integral dupla:
V = integral duplaR (4x^2 + y^2) , dA

Passo 2

Expressamos a integral dupla como iterada, integrando primeiro em y de 0 a 1 e depois em x de 0 a 2:
V = integralx=0^2 integraly=0^1 l(4x^2 + y^2r),dy,dx

Passo 3

Calculamos a integral interna em y:
integraly=0^1 l(4x^2 + y^2r),dy = integral0^1 4x^2,dy ;+;integral0^1 y^2,dy = 4x^2cdotl[yr]0^1 ;+;l[tfracy^33r]0^1 = 4x^2 + tfrac13

Passo 4

Agora integramos em x:
V = integral0^2 l(4x^2 + tfrac13r),dx = integral0^2 4x^2,dx ;+;integral0^2 tfrac13,dx = 4cdotl[tfracx^33r]0^2 ;+;tfrac13cdotl[xr]0^2 = 4cdottfrac83 + tfrac23 = tfrac323 + tfrac23 = tfrac343

Resposta

O volume do sólido é tfrac343.

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