Inverta a ordem de integração e calcule a integral resultante:
integral0^1 integraly^raizy sen xx d x d y

Passo 1

O enunciado pede para inverter a ordem de integração na integral dupla
integral0^1!integraly^raizysin xx,dx,dy
e em seguida calcular o resultado. O conteúdo principal aqui é interpretação geométrica da região de integração e, depois, cálculo de uma integral única simples.

Passo 2

Primeiro, descrevemos a região
R=(x,y)mid 0<= y<=1,;y<= x<=raizy
Para inverter, fixamos um x em vez de y. As condições y<= x e x<=raizy equivalem a
y<= x Longrightarrow y<= x,
x<=raizy Longrightarrow y>= x^2
Como y também está entre 0 e 1, para cada x em [0,1] temos
x^2<= y<= x
Logo a integral com ordem trocada é
integral0^1!integralx^2^xsin xx,dy,dx

Passo 3

Agora integramos primeiro em y. Como sin xx não depende de y,
integralx^2^xsin xx,dy =sin xx,l(y|y=x^2^y=xr) =sin xx,(x - x^2) =sin x,(1 - x)
Portanto a integral vira
integral0^1sin x,(1 - x),dx

Passo 4

Para calcular
integral0^1sin x,(1 - x),dx
separamos em duas integrais:
integral0^1sin x,dx ;-; integral0^1xsin x,dx
  1. integral0^1sin x,dx =[-cos x]0^1 =1 - cos1
  2. Para integral0^1xsin x,dx usamos partes com u=x, dv=sin x,dx, então
integral xsin x,dx =-xcos x+integralcos x,dx =-xcos x+sin x,
avaliado de 0 a 1 dá
l(-1cdotcos1+sin1r)-0 =-cos1+sin1
Subtraindo, obtemos
(1-cos1)-(-cos1+sin1) =1-sin1

Resposta

1-sin1

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