Inverta a ordem de integração e calcule a integral resultante:
Passo 1
O enunciado pede para inverter a ordem de integração na integral dupla
e em seguida calcular o resultado. O conteúdo principal aqui é interpretação geométrica da região de integração e, depois, cálculo de uma integral única simples.
Passo 2
Primeiro, descrevemos a região
Para inverter, fixamos um
em vez de
. As condições
e
equivalem a
Como
também está entre 0 e 1, para cada
em
temos
Logo a integral com ordem trocada é
Passo 3
Agora integramos primeiro em
. Como
não depende de
,
Portanto a integral vira
Passo 4
Para calcular
separamos em duas integrais:
-
integral0^1sin x,dx =[-cos x]0^1 =1 - cos1 - Para
usamos partes comintegral0^1xsin x,dx ,u=x , entãodv=sin x,dx
avaliado de 0 a 1 dá
Subtraindo, obtemos