Uma cônica com foco no polo tem excentricidade vértices em e . Escreva a equação da cónica na forma polar. Encontre os locais onde a cônica passa pelos eixos e .
Passo 1
O enunciado diz que temos uma cônica com foco no polo (origem), excentricidade e vértices em e . Isso indica uma elipse cujo eixo maior é vertical, com foco em . Vamos determinar os parâmetros da elipse (semieixo maior , distância focal , semieixo menor ), depois achar a diretiz e escrever a forma polar, e por fim calcular as interseções com os eixos e .
Passo 2
A distância entre os vértices vale . Como eles estão em e , temos
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O centro da elipse é o ponto médio dos vértices:
Como um dos focos é , a distância do centro ao foco é
Sabendo que para elipse , conferimos
coerente. O semieixo menor vem de
Passo 3
As diretizes de uma elipse centrada em são as retas
isto é e . Como estamos usando o foco em e o vértice superior está em , a diretiz relevante é
Num ponto genérico em coordenadas polares, temos , e a distância ao directriz é
(pois rsintheta<=2<6). A definição de cônica é
distância ao focodistância à diretiz = e Longrightarrow r6 - rsintheta = 12 ââà
Resolvendo:
r = tfrac12,l(6 - rsinthetar) ;Longrightarrow; r + tfrac12,rsintheta = 3 ;Longrightarrow; r,(1 + tfrac12sintheta) = 3 ;Longrightarrow; r = 31 + tfrac12sintheta = 62 + sintheta
Passo 4
Interseções com o eixo y: obrigatoriamente x=0, ou seja theta=tfracpi2 e theta=-tfracpi2.
Para theta=tfracpi2, sintheta=1, r=6/(2+1)=2, ponto (0,2).
Para theta=-tfracpi2, sintheta=-1, r=6/(2-1)=6, ponto (0,-6).
Interseções com o eixo x: y=0 dá sintheta=0, isto é theta=0 ou pi.
Para theta=0, r=6/(2+0)=3, ponto (3,0).
Para theta=pi, r=6/(2+0)=3, mas em direção pi isso é (-3,0).
Resposta
Equação polar:
r = 62 + sintheta
Interseções:
eixo $y$ em (0,2) e (0,-6), eixo $x$ em (3,0) e (-3,0)