Uma cônica com foco no polo tem excentricidade e=1 / 2 e vértices em (0 ;-6) e (0 ; 2). Escreva a equação da cónica na forma polar. Encontre os locais onde a cônica passa pelos eixos x e y.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma cônica com foco no polo (origem), excentricidade e=tfrac12 e vértices em (0,-6) e (0,2). Isso indica uma elipse cujo eixo maior é vertical, com foco em O=(0,0). Vamos determinar os parâmetros da elipse (semieixo maior a, distância focal c, semieixo menor b), depois achar a diretiz e escrever a forma polar, e por fim calcular as interseções com os eixos x e y.

Passo 2

A distância entre os vértices vale 2a. Como eles estão em y=-6 e y=2, temos
2a = 2 - (-6) = 8
Logo
a = 4
O centro da elipse é o ponto médio dos vértices:
C = l(0,tfrac-6+22r) = (0,-2)
Como um dos focos é O=(0,0), a distância do centro ao foco é
c = |yC - 0| = |-2| = 2
Sabendo que para elipse e = tfrac c a, conferimos
e = c a = 24 = tfrac12,
coerente. O semieixo menor vem de
b = raiza^2 - c^2 = raiz4^2 - 2^2 = raiz16 - 4 = 2raiz3

Passo 3

As diretizes de uma elipse centrada em (0,-2) são as retas
y + 2 = pm a e = pm 4tfrac12 = pm 8,
isto é y = -2 + 8 = 6 e y = -2 - 8 = -10. Como estamos usando o foco em O=(0,0) e o vértice superior está em (0,2), a diretiz relevante é
y = 6
Num ponto genérico (r,theta) em coordenadas polares, temos y = rsintheta, e a distância ao directriz é
l|rsintheta - 6r| = 6 - rsintheta
(pois rsintheta<=2<6). A definição de cônica é
distância ao focodistância à diretiz = e Longrightarrow r6 - rsintheta = 12 ââà
Resolvendo:
r = tfrac12,l(6 - rsinthetar) ;Longrightarrow; r + tfrac12,rsintheta = 3 ;Longrightarrow; r,(1 + tfrac12sintheta) = 3 ;Longrightarrow; r = 31 + tfrac12sintheta = 62 + sintheta

Passo 4

Interseções com o eixo y: obrigatoriamente x=0, ou seja theta=tfracpi2 e theta=-tfracpi2.
  • Para theta=tfracpi2, sintheta=1, r=6/(2+1)=2, ponto (0,2).
  • Para theta=-tfracpi2, sintheta=-1, r=6/(2-1)=6, ponto (0,-6).
Interseções com o eixo x: y=0 sintheta=0, isto é theta=0 ou pi.
  • Para theta=0, r=6/(2+0)=3, ponto (3,0).
  • Para theta=pi, r=6/(2+0)=3, mas em direção pi isso é (-3,0).

Resposta

Equação polar:
r = 62 + sintheta
Interseções:
eixo $y$ em (0,2) e (0,-6), eixo $x$ em (3,0) e (-3,0)

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