A carga elétrica distribuída sobre a região triangular de vértices (1,0),(0,1) e ( 1,1 ) de modo que a densidade de carga no ponto (x, y) é sigma(x, y)=x y(e m C / m^2). Determine a carga total na região.

Passo 1

O enunciado pede a carga total Q sobre o triângulo de vértices (1,0), (0,1) e (1,1) com densidade de carga sigma(x,y)=xy (em C/ m^2). Vamos usar integração dupla sobre essa região no plano xy.

Passo 2

Precisamos descrever o domínio triangular. A aresta que liga (1,0) a (0,1) é dada por x+y=1. As outras duas são as retas x=1 e y=1. Para cada y em [0,1], x varia de x=1-y até x=1. Assim,
Q = integral duplatriângulo sigma(x,y),dA = integraly=0^1!integralx=1-y^1 x,y ,dx,dy â

Passo 3

Primeiro, integramos em x:
integralx=1-y^1 x,y ,dx = yintegral1-y^1 x,dx = y[x^22]x=1-y^1 = yl(12-(1-y)^22r)
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Q = integral0^1 yl(tfrac12-tfrac(1-y)^22r),dy = tfrac12integral0^1 yl[1-(1 - 2y + y^2)r],dy = tfrac12integral0^1 y(2y - y^2),dy

Passo 4

Simplificando o integrando:
tfrac12,y(2y - y^2) = y^2 - tfrac12,y^3
Então
Q = integral0^1l(y^2 - tfrac12,y^3r),dy = l[y^33 - y^48r]0^1 = 13 - 18 = 524

Resposta

A carga total na região é 524 C.

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