Inverta a ordem de integração e calcule a integral resultante:
integral0^4 integralraizy^2 yraiz1+x^5 d x d y

Passo 1

O enunciado pede para inverter a ordem de integração e calcular
integral0^4integralraizy^2 yraiz1 + x^5,dx,dy
Isso envolve identificar o domínio, trocar os limites e depois fazer integrações iteradas (com substituição quando necessário).

Passo 2

O domínio D é
D = (x,y)mid 0<= y<=4,;raizy<= x<=2
Para inverter, vemos que x varia de 0 a 2. Para cada x fixo em [0,2], a condição raizy<= x vira y<= x^2. Como x^2<=4 nesse intervalo, temos
0<= y<= x^2

Passo 3

Escrevendo a integral com a ordem trocada:
integralx=0^2integraly=0^x^2 yraiz1+x^5,dy,dx

Passo 4

Integramos primeiro em y:
integral0^x^2 y,dy = x^42
Logo a integral passa a ser
12 integral0^2x^4raiz1+x^5,dx

Passo 5

Para calcular integral0^2x^4raiz1+x^5,dx, fazemos a troca
u = 1 + x^5, du = 5x^4,dx
Quando x=0, u=1; quando x=2, u=33. Então
integral0^2x^4raiz1+x^5,dx = integral1^3315u^-tfrac12du = 15cdot 2,l(raizur)|1^33 = 25,(raiz33-1)
Multiplicando pelo tfrac12 externo, o resultado final é
raiz33-15.

Resposta

raiz33-15

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