O acidente nuclear que ocorreu em Goiânia, no ano de 1987, começou quando uma cápsula de chumbo contendo por volta de 20 gramas de cloreto de césio- 137(\mathrm{CsCl}) foi removida de um aparelho de radioterapia abandonado.
Suponha que a quantidade remanescente de uma substância radiativa é obtida pela função f(t)=k e^{c t}, onde k e c são constantes a serem determinadas, e é um número irracional conhecido como número de Euler e t é o tempo. Sabendo que a meia-vida do CsCl , o tempo necessário para que sua atividade radiativa caia pela metade, é de trinta anos, explicitando todo o seu raciocínio, determine:
(a) a função que representa a quantidade remanescente de CsCl em Goiânia;
(b) quanto tempo levará para que 95 \% da quantidade de CsCl que causou o acidente em Goiânia tenha se desintegrado.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (peguei estas informações diretamente do texto do problema):
  • A quantidade inicial aproximada de CsCl é 20 gramas. Vou tomar isso como a condição inicial exata para o modelo: f(0)=20.
  • O modelo para a quantidade remanescente é f(t)=k e^{c t}, onde k e c são constantes a determinar e t é o tempo em anos.
  • A meia-vida do \mathrm{CsCl} é de 30 anos. Ou seja, após 30 anos a quantidade remanescente deve ser metade da inicial.
    As perguntas pedidas são:
    (a) determinar a função f(t) que descreve a quantidade remanescente de CsCl em função do tempo;
    (b) determinar quanto tempo levará para que 95\% da quantidade inicial tenha se desintegrado (ou seja, para sobrar 5\% da quantidade inicial).

Passo 2

Entender o modelo e o que significam k e c.
  • Em f(t)=k e^{c t}, a constante k é o valor inicial da quantidade quando t=0, porque f(0)=k e^{c\cdot0}=k. Portanto, com os dados do enunciado temos k=20 (gramas).
  • A constante c determina a taxa de decaimento. Para decaimento radioativo c é negativo e tem unidade \text{ano}^{-1} se t está em anos.
    Vou usar a condição da meia-vida para encontrar c.

Passo 3

Usar a definição de meia-vida para relacionar c com T_{1/2}=30 anos.
  • A meia-vida significa que f(T_{1/2})=\dfrac{k}{2}.
  • Substituindo no modelo:
f(T_{1/2})=k e^{c T_{1/2}}=\frac{k}{2}.
  • Cancelando k (não nulo) obtemos
e^{c T_{1/2}}=\frac{1}{2}.

Passo 4

Resolver para c usando logaritmo natural.
  • Aplicando o logaritmo natural dos dois lados:
c T_{1/2}=\ln\!\left(\frac{1}{2}\right).
  • Portanto
c=\frac{\ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right)}{T_{1/2}}=\frac{-\ln 2}{30}.
  • Esta é a expressão exata para c. Em unidades,
c=-\frac{\ln 2}{30}\\ \text{(ano}^{-1}\text{)}.
  • Se quiser uma aproximação numérica para c, calcule \ln 2\approx0,693147, então
c\approx -0,0231\\ \text{ano}^{-1}.

Passo 5

Escrever a função f(t) com k=20 e o c encontrado.
  • Substituindo k e c em f(t)=k e^{c t} obtemos a forma exponencial:
f(t)=20\,e^{-\frac{\ln 2}{30}\,t}.
  • Uma forma alternativa, frequentemente mais simples de interpretar, usa potências de 1/2. Como e^{-\frac{\ln 2}{30}t}=(e^{\ln 2})^{-t/30}=2^{-t/30}, podemos escrever:
f(t)=20\left(\tfrac{1}{2}\right)^{\tfrac{t}{30}}.
  • Ambas as formas são equivalentes; a primeira usa exponencial com e e mostra explicitamente c, a segunda mostra o decaimento em termos de meias-vidas.

Passo 6

Interpretando a função para a prova: dica prática.
  • Em prova, se pedirem a função a partir da meia-vida, sempre lembrar: coloque k igual à quantidade inicial e use c=\dfrac{-\ln 2}{T_{1/2}}.
  • Se pedirem verificar valor após um número de anos t, calcule f(t)=20\left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/30}, que evita calcular exponenciais com e manualmente.

Passo 7

Agora vamos determinar o tempo até que 95\% tenha se desintegrado. Isso significa que a quantidade remanescente é 5\% da inicial:
f(t)=0{,}05\cdot 20.
  • Em termos do modelo:
20\,e^{-\frac{\ln 2}{30}t}=0{,}05\cdot 20.
  • Cancelando 20 de ambos os lados:
e^{-\frac{\ln 2}{30}t}=0{,}05.

Passo 8

Resolver a equação acima para t usando logaritmos.
  • Aplicando ln em ambos os lados:
-\frac{\ln 2}{30}\,t=\ln(0{,}05).
  • Isolando t:
t=\frac{\ln(0{,}05)}{-\tfrac{\ln 2}{30}}=30\cdot\frac{\ln(0{,}05)}{-\ln 2}.
  • Podemos simplificar mudando sinal dentro do logaritmo:
t=30\cdot\frac{\ln\!\left(\tfrac{1}{0{,}05}\right)}{\ln 2}=30\cdot\frac{\ln 20}{\ln 2}.

Passo 9

Avaliar numericamente o resultado para ter um número prático (útil na prova para interpretação).
  • Calcule \ln 20\approx 2{,}995732 e \ln 2\approx 0{,}693147. Assim
\frac{\ln 20}{\ln 2}\approx 4{,}321928,
e
t\approx 30\times 4{,}321928\approx 129{,}66\\ \text{anos}.
  • Em palavras: levará cerca de 130 anos para que 95\% da quantidade inicial se desintegre.

Resposta

(a) f(t)=20\,e^{-\dfrac{\ln 2}{30}\,t}=20\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\tfrac{t}{30}} (quantidade em gramas, t em anos).
(b) t=30\cdot\dfrac{\ln 20}{\ln 2}\approx 129{,}66\\ \text{anos}.

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