O acidente nuclear que ocorreu em Goiânia, no ano de 1987, começou quando uma cápsula de chumbo contendo por volta de 20 gramas de cloreto de césio-
foi removida de um aparelho de radioterapia abandonado.
Suponha que a quantidade remanescente de uma substância radiativa é obtida pela função
, onde
e
são constantes a serem determinadas,
é um número irracional conhecido como número de Euler e
é o tempo. Sabendo que a meia-vida do CsCl , o tempo necessário para que sua atividade radiativa caia pela metade, é de trinta anos, explicitando todo o seu raciocínio, determine:
(a) a função que representa a quantidade remanescente de CsCl em Goiânia;
(b) quanto tempo levará para que
da quantidade de CsCl que causou o acidente em Goiânia tenha se desintegrado.
Suponha que a quantidade remanescente de uma substância radiativa é obtida pela função
(a) a função que representa a quantidade remanescente de CsCl em Goiânia;
(b) quanto tempo levará para que
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações (peguei estas informações diretamente do texto do problema):
- A quantidade inicial aproximada de CsCl é
gramas. Vou tomar isso como a condição inicial exata para o modelo: . - O modelo para a quantidade remanescente é
, onde e são constantes a determinar e é o tempo em anos. - A meia-vida do
é de anos. Ou seja, após anos a quantidade remanescente deve ser metade da inicial.
As perguntas pedidas são:
(a) determinar a funçãoque descreve a quantidade remanescente de CsCl em função do tempo;
(b) determinar quanto tempo levará para queda quantidade inicial tenha se desintegrado (ou seja, para sobrar da quantidade inicial).
Passo 2
Entender o modelo e o que significam
e
.
- Em
, a constante é o valor inicial da quantidade quando , porque . Portanto, com os dados do enunciado temos (gramas). - A constante
determina a taxa de decaimento. Para decaimento radioativo é negativo e tem unidade se está em anos.
Vou usar a condição da meia-vida para encontrar.
Passo 3
Usar a definição de meia-vida para relacionar
com
anos.
- A meia-vida significa que
. - Substituindo no modelo:
- Cancelando
(não nulo) obtemos
Passo 4
Resolver para
usando logaritmo natural.
- Aplicando o logaritmo natural dos dois lados:
- Portanto
- Esta é a expressão exata para
. Em unidades,
- Se quiser uma aproximação numérica para
, calcule , então
Passo 5
Escrever a função
com
e o
encontrado.
- Substituindo
e em obtemos a forma exponencial:
- Uma forma alternativa, frequentemente mais simples de interpretar, usa potências de
. Como , podemos escrever:
- Ambas as formas são equivalentes; a primeira usa exponencial com
e mostra explicitamente , a segunda mostra o decaimento em termos de meias-vidas.
Passo 6
Interpretando a função para a prova: dica prática.
- Em prova, se pedirem a função a partir da meia-vida, sempre lembrar: coloque
igual à quantidade inicial e use . - Se pedirem verificar valor após um número de anos
, calcule , que evita calcular exponenciais com manualmente.
Passo 7
Agora vamos determinar o tempo até que
tenha se desintegrado. Isso significa que a quantidade remanescente é
da inicial:
- Em termos do modelo:
- Cancelando
de ambos os lados:
Passo 8
Resolver a equação acima para
usando logaritmos.
- Aplicando ln em ambos os lados:
- Isolando
:
- Podemos simplificar mudando sinal dentro do logaritmo:
Passo 9
Avaliar numericamente o resultado para ter um número prático (útil na prova para interpretação).
- Calcule
e . Assim
e
- Em palavras: levará cerca de
anos para que da quantidade inicial se desintegre.
Resposta
(a)
(quantidade em gramas,
em anos).
(b) .
(b)