Determine o domínio das funções:
Para
.
Para
Passo 1
O enunciado pede para determinar o domínio da função dada quando
. A função é
As perguntas implícitas são:
- Para quais valores de
a expressão está bem definida? - Para quais valores de
o valor dentro da raiz quadrada é não-negativo (permitindo a raiz real)?
Informações fornecidas:
- A base do logaritmo satisfaz
. - A expressão dentro do logaritmo é
. - A raiz é a raiz quadrada real, portanto precisa de argumento
.
Passo 2
Condição 1 — domínio do logaritmo: a operação
está definida somente para
. Aqui
. Logo uma condição necessária é
Vou reorganizar isso para
: subtraindo
dos dois lados e multiplicando por
(lembrando que muda o sinal da desigualdade ao multiplicar por número negativo),
Portanto precisamos de
para que
exista.
Passo 3
Condição 2 — argumento da raiz: como temos
, precisamos de
Essa desigualdade junto com a condição
formam as restrições completas.
Agora vamos interpretar a desigualdade
. É importante usar que
: para bases entre
e
a função
é decrescente (ou seja, se
então
). Outra forma de ver é lembrar que
e que, como a função exponencial
é decrescente quando
, aplicar
a ambos os lados de uma desigualdade envolvendo
inverte a desigualdade.
Usando isso de modo direto: para
,
quando
. (Porque
e
é decrescente.)
Aplicando com
, obtemos
Passo 4
Agora resolvo a desigualdade obtida:
Subtraindo
dos dois lados:
Multiplicando por
e invertendo a desigualdade:
Portanto a desigualdade
equivale a
. Lembre-se que também precisamos da condição do logaritmo
(obtida no Passo 2). Juntando as duas condições temos
Passo 5
Verificação de bordas e interpretação:
- Em
: , então para qualquer base . Assim é válido — o extremo pertence ao domínio. - Em
: , mas não está definido (o logaritmo exige argumento estritamente positivo), portanto não pertence ao domínio. - Para qualquer
com , tem-se , o que garante e bem definido; para temos e, com , isso dá , então a raiz ficaria com argumento negativo — não permitido.
Assim o conjunto de valores permitidos é exatamente o intervalo fechado à esquerda e aberto à direita
.