Determine o domínio das funções:
Para 0<a<1.
f(x)=\sqrt{\log _{a}(4-x)}

Passo 1

O enunciado pede para determinar o domínio da função dada quando 0<a<1. A função é
f(x)=\sqrt{\log_{a}(4-x)}.
As perguntas implícitas são:
  • Para quais valores de x a expressão \log_{a}(4-x) está bem definida?
  • Para quais valores de x o valor dentro da raiz quadrada é não-negativo (permitindo a raiz real)?
Informações fornecidas:
  • A base do logaritmo satisfaz 0<a<1.
  • A expressão dentro do logaritmo é 4-x.
  • A raiz é a raiz quadrada real, portanto precisa de argumento \ge 0.

Passo 2

Condição 1 — domínio do logaritmo: a operação \log_{a}(y) está definida somente para y>0. Aqui y=4-x. Logo uma condição necessária é
4-x>0.
Vou reorganizar isso para x: subtraindo 4 dos dois lados e multiplicando por -1 (lembrando que muda o sinal da desigualdade ao multiplicar por número negativo),
x<4.
Portanto precisamos de x<4 para que \log_{a}(4-x) exista.

Passo 3

Condição 2 — argumento da raiz: como temos \sqrt{\log_{a}(4-x)}, precisamos de
\log_{a}(4-x)\ge 0.
Essa desigualdade junto com a condição 4-x>0 formam as restrições completas.
Agora vamos interpretar a desigualdade \log_{a}(4-x)\ge 0. É importante usar que 0<a<1: para bases entre 0 e 1 a função t\mapsto\log_{a}(t) é decrescente (ou seja, se u>v>0 então \log_{a}(u)<\log_{a}(v)). Outra forma de ver é lembrar que a^{0}=1 e que, como a função exponencial a^{t} é decrescente quando 0<a<1, aplicar a^{(\cdot)} a ambos os lados de uma desigualdade envolvendo \log_{a} inverte a desigualdade.
Usando isso de modo direto: para y>0,
\log_{a}(y)\ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad y\le 1,
quando 0<a<1. (Porque \log_{a}(1)=0 e \log_{a} é decrescente.)
Aplicando com y=4-x, obtemos
\log_{a}(4-x)\ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad 4-x\le 1.

Passo 4

Agora resolvo a desigualdade obtida:
4-x\le 1.
Subtraindo 4 dos dois lados:
-x\le -3.
Multiplicando por -1 e invertendo a desigualdade:
x\ge 3.
Portanto a desigualdade \log_{a}(4-x)\ge 0 equivale a x\ge 3. Lembre-se que também precisamos da condição do logaritmo x<4 (obtida no Passo 2). Juntando as duas condições temos
3\le x<4.

Passo 5

Verificação de bordas e interpretação:
  • Em x=3: 4-x=1, então \log_{a}(1)=0 para qualquer base a>0, a\neq 1. Assim \sqrt{0}=0 é válido — o extremo x=3 pertence ao domínio.
  • Em x=4: 4-x=0, mas \log_{a}(0) não está definido (o logaritmo exige argumento estritamente positivo), portanto x=4 não pertence ao domínio.
  • Para qualquer x com 3\le x<4, tem-se 0<4-x\le 1, o que garante \log_{a}(4-x)\ge 0 e bem definido; para x<3 temos 4-x>1 e, com 0<a<1, isso dá \log_{a}(4-x)<0, então a raiz ficaria com argumento negativo — não permitido.
Assim o conjunto de valores permitidos é exatamente o intervalo fechado à esquerda e aberto à direita [3,4).

Resposta

[3,4)

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