O crescimento de uma cultura de bactérias pode ser obtido pela função
, onde
e
são constantes a serem determinadas,
é um número irracional conhecido como número de Euler e
é o tempo. Sabendo que inicialmente haviam
bactérias e que após uma hora o número de bactérias aumentou em
, explicite seu raciocínio para determinar:
(a) a função que representa o crescimento desta cultura de bactérias;
(b) quanto tempo levará para que o número de bactérias seja cem vezes maior que a quantidade inicial.
(a) a função que representa o crescimento desta cultura de bactérias;
(b) quanto tempo levará para que o número de bactérias seja cem vezes maior que a quantidade inicial.
Passo 1
O enunciado dá a lei de crescimento da cultura na forma
, onde
e
são constantes e
é o tempo (em horas). As informações numéricas fornecidas são:
- Inicialmente havia
bactérias. - Após uma hora (
) o número de bactérias aumentou , ou seja passou a .
O que se pede:
(a) Determinar explicitamente a função que descreve esse crescimento (ou seja, encontrar
e
).
(b) Calcular quanto tempo será necessário para que o número de bactérias seja cem vezes a quantidade inicial (isto é, achar
tal que
).
(a) Determinar explicitamente a função
(b) Calcular quanto tempo
Passo 2
Usar a condição inicial para achar
. Explicando: a função
dá o número de bactérias no tempo
. Se
(momento inicial), então
Mas o enunciado diz que inicialmente havia
bactérias, ou seja
. Portanto igualando:
Interpretação didática:
é o valor inicial da função exponencial — aqui, o número de bactérias no tempo zero.
Passo 3
Agora usar a informação de crescimento de
em uma hora para achar
. Explicando a ideia: o parâmetro
controla a taxa de crescimento contínuo na base
. Para
hora temos:
Sabemos que
. Substituindo
obtém-se
Dividindo ambos os lados por
(assumindo
):
Para resolver
usamos o logaritmo natural (ln), que é a função inversa da exponencial
. Aplicando
aos dois lados:
Breve aula:
é o logaritmo na base
. Se
, então
. Aqui isso nos dá
.
Passo 4
Colocar
e
na forma final da função (resolvendo a parte (a)). Substituindo
e
em
fica:
Comentário prático: essa é a forma exata. Às vezes é conveniente reescrever usando propriedades de exponencial:
logo uma forma equivalente é
Explicação: como
, a função também pode ser vista como crescimento discreto por hora com fator
por hora, mas escrita na base contínua
fica com
.
Passo 5
Agora resolver a parte (b): achar
tal que
. Usar a forma
(com
). Monta-se a equação:
Dividindo por
:
Aplicando
aos dois lados para isolar
:
Portanto
Passo 6
Substituir
e simplificar a expressão exata; também calcular aproximação numérica. Substituindo:
Comentário:
, mas vamos dar a aproximação numérica para ter uma noção do tempo real. Valores aproximados (lembrando que
aqui é logaritmo natural):
Fazendo a divisão:
Passo 7
Interpretar o resultado em horas e minutos e verificar plausibilidade. A fração decimal
de hora corresponde a
minutos. Logo o tempo é aproximadamente
horas e
minutos. Verificação rápida: usando a forma
e
,
o que confirma que o resultado está consistente.
Resposta
(a)
(b) (aproximadamente
horas e
minutos).
(b)