O crescimento de uma cultura de bactérias pode ser obtido pela função f(t)= k e^{c t}, onde k e c são constantes a serem determinadas, e é um número irracional conhecido como número de Euler e t é o tempo. Sabendo que inicialmente haviam B_{0} bactérias e que após uma hora o número de bactérias aumentou em 50 \%, explicite seu raciocínio para determinar:
(a) a função que representa o crescimento desta cultura de bactérias;
(b) quanto tempo levará para que o número de bactérias seja cem vezes maior que a quantidade inicial.

Passo 1

O enunciado dá a lei de crescimento da cultura na forma f(t)=k e^{c t}, onde k e c são constantes e t é o tempo (em horas). As informações numéricas fornecidas são:
  • Inicialmente havia \,B_{0}\, bactérias.
  • Após uma hora ( t=1) o número de bactérias aumentou 50\%, ou seja passou a 1{,}5\,B_{0}.
O que se pede:
(a) Determinar explicitamente a função f(t) que descreve esse crescimento (ou seja, encontrar k e c).
(b) Calcular quanto tempo t será necessário para que o número de bactérias seja cem vezes a quantidade inicial (isto é, achar t tal que f(t)=100\,B_{0}).

Passo 2

Usar a condição inicial para achar k. Explicando: a função f(t)=k e^{c t} dá o número de bactérias no tempo t. Se t=0 (momento inicial), então
f(0)=k e^{c\cdot 0}=k e^{0}=k.
Mas o enunciado diz que inicialmente havia B_{0} bactérias, ou seja f(0)=B_{0}. Portanto igualando:
k = B_{0}.
Interpretação didática: k é o valor inicial da função exponencial — aqui, o número de bactérias no tempo zero.

Passo 3

Agora usar a informação de crescimento de 50\% em uma hora para achar c. Explicando a ideia: o parâmetro c controla a taxa de crescimento contínuo na base e. Para t=1 hora temos:
f(1)=k e^{c\cdot 1}=k e^{c}.
Sabemos que f(1)=1{,}5\,B_{0}. Substituindo k=B_{0} obtém-se
B_{0} e^{c} = 1{,}5\,B_{0}.
Dividindo ambos os lados por B_{0} (assumindo B_{0}>0):
e^{c}=1{,}5.
Para resolver e^{c}=1{,}5 usamos o logaritmo natural (ln), que é a função inversa da exponencial e^{x}. Aplicando \ln aos dois lados:
c = \ln(1{,}5).
Breve aula: \ln(x) é o logaritmo na base e. Se e^{c}=A, então c=\ln(A). Aqui isso nos dá c=\ln(3/2).

Passo 4

Colocar k e c na forma final da função (resolvendo a parte (a)). Substituindo k=B_{0} e c=\ln(1{,}5) em f(t)=k e^{c t} fica:
f(t)=B_{0}\,e^{(\ln(1{,}5))\,t}.
Comentário prático: essa é a forma exata. Às vezes é conveniente reescrever usando propriedades de exponencial:
e^{(\ln(1{,}5))t}=\big(e^{\ln(1{,}5)}\big)^{t}=(1{,}5)^{t},
logo uma forma equivalente é
f(t)=B_{0}\,(1{,}5)^{t}.
Explicação: como e^{\ln(1{,}5)}=1{,}5, a função também pode ser vista como crescimento discreto por hora com fator 1{,}5 por hora, mas escrita na base contínua e fica com \ln(1{,}5).

Passo 5

Agora resolver a parte (b): achar t tal que f(t)=100\,B_{0}. Usar a forma f(t)=B_{0} e^{c t} (com c=\ln(1{,}5)). Monta-se a equação:
B_{0} e^{c t} = 100\,B_{0}.
Dividindo por B_{0}:
e^{c t} = 100.
Aplicando \ln aos dois lados para isolar t:
c t = \ln(100).
Portanto
t = \frac{\ln(100)}{c}.

Passo 6

Substituir c=\ln(1{,}5) e simplificar a expressão exata; também calcular aproximação numérica. Substituindo:
t = \frac{\ln(100)}{\ln(1{,}5)}.
Comentário: \ln(100)=\ln(10^{2})=2\ln(10), mas vamos dar a aproximação numérica para ter uma noção do tempo real. Valores aproximados (lembrando que \ln aqui é logaritmo natural):
\ln(100)\approx 4{,}605170186,\qquad \ln(1{,}5)\approx 0{,}405465108.
Fazendo a divisão:
t \approx \frac{4{,}605170186}{0{,}405465108}\approx 11{,}36\\ \text{horas}.

Passo 7

Interpretar o resultado em horas e minutos e verificar plausibilidade. A fração decimal 0{,}36 de hora corresponde a 0{,}36\times 60\approx 21{,}6 minutos. Logo o tempo é aproximadamente 11 horas e 22 minutos. Verificação rápida: usando a forma f(t)=B_{0}(1{,}5)^{t} e t\approx 11{,}36,
(1{,}5)^{11{,}36}\approx 100,
o que confirma que o resultado está consistente.

Resposta

(a) f(t)=B_{0}\,e^{(\ln(1{,}5))\,t}=B_{0}(1{,}5)^{t}.
(b) t=\dfrac{\ln(100)}{\ln(1{,}5)}\approx 11{,}36\\ \text{horas} (aproximadamente 11 horas e 22 minutos).

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