Nos itens abaixo determine a função inversa e construa o gráfico de
e
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Determinar a função inversa de
onde . - Construir (ou descrever como construir) o gráfico de
e de .
Informações dadas e observações imediatas (tiradas do enunciado):
- A função é racional do tipo “reta sobre reta”:
. - Note que
torna o denominador zero, então NÃO pertence ao domínio de .
Passo 2
O que significa achar a inversa e quando ela existe (explicação didática curta).
- A função inversa
troca papéis de entrada e saída: se então . - Para obter explicitamente
a técnica padrão é escrever e resolver essa equação para em termos de . Depois trocamos os nomes e (ou simplesmente renomeamos por na expressão final). - Observação sobre existência: funções racionais afim-sobre-afim (transformações de Möbius) são bijetoras entre
menos o ponto da assíntota vertical e menos o valor da assíntota horizontal; portanto existe inversa quando consideramos os domínios apropriados.
Passo 3
Resolver para achar
passo a passo (algebra pura, sem pular etapas).
Começo escrevendo
Começo escrevendo
Multiplico ambos os lados por
(lembrando que
):
Distribuo o
:
Agora reúno os termos com
de um lado:
Coloco
em evidência no lado esquerdo:
Como queremos expressar
em função de
, dividimos por
(lembrando que
para a divisão ser válida):
Agora trocamos
por
para obter a fórmula da inversa (convenção habitual):
Passo 4
Domínio e imagem (intervalos proibidos) — dedução e explicação.
- Observação já vista:
não está definida em , portanto o domínio de é . - Ao resolver para a inversa apareceu a condição
(pois dividimos por ). Isso implica que a imagem (contradomínio útil) de é . - Consequentemente, para
vale: - domínio de
é ; - imagem (valores possíveis) de
é .
- domínio de
Passo 5
Assíntotas e comportamento (como encontrar e interpretar) — para
.
- Para funções racionais da forma
(grau do numerador = grau do denominador = 1) a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes principais: aqui é . Assim é assíntota horizontal. - A assíntota vertical vem do zero do denominador:
. Assim é assíntota vertical. - Limites para entender o comportamento nas bordas:
então a curva se aproxima de quando cresce em módulo. Esses limites mostram que à direita de a função vai para ao se aproximar de e à esquerda vai para . - Interceptos e pontos úteis para desenhar:
- Zero (intercepto em
): resolver . Ponto . - Intercepto em
: . Ponto . - Alguns outros pontos fáceis:
→ . → . → .
- Zero (intercepto em
- Resumo do formato: são duas ramas hiperbólicas separadas pela assíntota vertical
. À esquerda de a curva vem de quando e desce para ao aproximar pela esquerda; à direita de a curva vem de perto de e decresce para quando .
Passo 6
Como construir (esboçar) o gráfico de
passo a passo (procedimento prático para a prova).
- Desenhe as assíntotas: reta vertical
e reta horizontal . - Marque os pontos calculados:
, , , , . - Entre esses pontos e as assíntotas desenhe duas curvas suaves (sem cruzar as assíntotas) que tenham o comportamento de limite indicado:
- Para
: a curva passa por , , , aproxima-se de à esquerda e vai para ao chegar em . - Para
: a curva passa por , vem de próximo a e tende para quando .
- Para
- Verifique a suavidade e a simetria esperada (não é simétrica em relação aos eixos, mas terá simetria com sua inversa em relação à reta
).
Passo 7
Gráfico de
— relação com
e procedimentos para desenhar.
- Regra prática e poderosa: o gráfico de
é a reflexão do gráfico de em relação à reta . - A troca de papéis faz as assíntotas trocarem entre si:
- Assíntotas de
: vertical e horizontal . - Assíntotas de
: vertical e horizontal .
(isso é porque se a assíntota vertical deé , a assíntota horizontal é ; para a inversa essas retas trocam).
- Assíntotas de
- Pontos correspondentes (reflexão em
): troque coordenadas de cada ponto de . -
em vira em . -
vira . -
vira . -
vira . -
vira .
-
- Verificação via fórmula: usar
para calcular alguns valores e conferir, por exemplo: que coincidem com os pontos refletidos. - Esboço prático de
: - Desenhe as assíntotas
e . - Marque os pontos refletidos citados.
- Ligue-os com duas ramas que tenham comportamento vertical em
e horizontal em .
- Desenhe as assíntotas
Passo 8
Dicas finais, verificação e incentivo (para a prova).
- Em provas, rápido caminho para o gráfico da inversa: ache assíntotas e alguns pontos-chave de
e reflita-os na reta . - Sempre informe domínio e imagem ao apresentar inversa (é parte da resposta).
- Você já tem a fórmula explícita e os pontos para esboçar ambos os gráficos; pratique desenhando no papel as duas curvas e a reta
para ver a simetria — isso ajuda a fixar a ideia.
Resposta
Domínio de
Domínio de
Assíntotas de
Assíntotas de