Nos itens abaixo determine a função inversa e construa o gráfico de f e f^{-1}.
f(x)=\frac{x+2}{x-2}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Determinar a função inversa de f onde f(x)=\dfrac{x+2}{x-2}.
  • Construir (ou descrever como construir) o gráfico de f e de f^{-1}.
Informações dadas e observações imediatas (tiradas do enunciado):
  • A função é racional do tipo “reta sobre reta”: f(x)=\dfrac{x+2}{x-2}.
  • Note que x=2 torna o denominador zero, então x=2 NÃO pertence ao domínio de f.

Passo 2

O que significa achar a inversa e quando ela existe (explicação didática curta).
  • A função inversa f^{-1} troca papéis de entrada e saída: se y=f(x) então x=f^{-1}(y).
  • Para obter explicitamente f^{-1} a técnica padrão é escrever y=f(x) e resolver essa equação para x em termos de y. Depois trocamos os nomes x e y (ou simplesmente renomeamos y por x na expressão final).
  • Observação sobre existência: funções racionais afim-sobre-afim (transformações de Möbius) são bijetoras entre \mathbb{R} menos o ponto da assíntota vertical e \mathbb{R} menos o valor da assíntota horizontal; portanto existe inversa quando consideramos os domínios apropriados.

Passo 3

Resolver para achar f^{-1} passo a passo (algebra pura, sem pular etapas).
Começo escrevendo
y=\frac{x+2}{x-2}.
Multiplico ambos os lados por \,x-2 (lembrando que x\neq2):
y(x-2)=x+2.
Distribuo o y:
yx-2y = x+2.
Agora reúno os termos com x de um lado:
yx - x = 2y+2.
Coloco x em evidência no lado esquerdo:
x(y-1) = 2(y+1).
Como queremos expressar x em função de y, dividimos por y-1 (lembrando que y\neq1 para a divisão ser válida):
x = \frac{2(y+1)}{y-1}.
Agora trocamos y por x para obter a fórmula da inversa (convenção habitual):
f^{-1}(x)=\frac{2(x+1)}{x-1}.

Passo 4

Domínio e imagem (intervalos proibidos) — dedução e explicação.
  • Observação já vista: f não está definida em x=2, portanto o domínio de f é \mathbb{R}\setminus\{2\}.
  • Ao resolver para a inversa apareceu a condição y\neq1 (pois dividimos por y-1). Isso implica que a imagem (contradomínio útil) de f é \mathbb{R}\setminus\{1\}.
  • Consequentemente, para f^{-1} vale:
    • domínio de f^{-1} é \mathbb{R}\setminus\{1\};
    • imagem (valores possíveis) de f^{-1} é \mathbb{R}\setminus\{2\}.

Passo 5

Assíntotas e comportamento (como encontrar e interpretar) — para f.
  • Para funções racionais da forma \dfrac{ax+b}{cx+d} (grau do numerador = grau do denominador = 1) a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes principais: aqui é y=\dfrac{1}{1}=1. Assim y=1 é assíntota horizontal.
  • A assíntota vertical vem do zero do denominador: x-2=0\Rightarrow x=2. Assim x=2 é assíntota vertical.
  • Limites para entender o comportamento nas bordas: \lim_{x\to\pm\infty}\frac{x+2}{x-2}=1,então a curva se aproxima de y=1 quando x cresce em módulo. \lim_{x\to2^+}\frac{x+2}{x-2}=+\infty,\qquad \lim_{x\to2^-}\frac{x+2}{x-2}=-\infty.Esses limites mostram que à direita de x=2 a função vai para +\infty ao se aproximar de 2 e à esquerda vai para -\infty.
  • Interceptos e pontos úteis para desenhar:
    • Zero (intercepto em x): resolver \dfrac{x+2}{x-2}=0\Rightarrow x=-2. Ponto (-2,0).
    • Intercepto em y: f(0)=\dfrac{0+2}{0-2}=-1. Ponto (0,-1).
    • Alguns outros pontos fáceis: f(1)=\dfrac{3}{-1}=-3 (1,-3). f(3)=\dfrac{5}{1}=5 (3,5). f(4)=3 (4,3).
  • Resumo do formato: são duas ramas hiperbólicas separadas pela assíntota vertical x=2. À esquerda de x=2 a curva vem de y\to1^- quando x\to-\infty e desce para -\infty ao aproximar 2 pela esquerda; à direita de x=2 a curva vem de +\infty perto de 2^+ e decresce para y\to1^+ quando x\to+\infty.

Passo 6

Como construir (esboçar) o gráfico de f passo a passo (procedimento prático para a prova).
  1. Desenhe as assíntotas: reta vertical x=2 e reta horizontal y=1.
  2. Marque os pontos calculados: (-2,0), (0,-1), (1,-3), (3,5), (4,3).
  3. Entre esses pontos e as assíntotas desenhe duas curvas suaves (sem cruzar as assíntotas) que tenham o comportamento de limite indicado:
    • Para x<2: a curva passa por (-2,0), (0,-1), (1,-3), aproxima-se de y=1 à esquerda e vai para -\infty ao chegar em x=2^-.
    • Para x>2: a curva passa por (3,5),(4,3), vem de +\infty próximo a x=2^+ e tende para y=1 quando x\to+\infty.
  4. Verifique a suavidade e a simetria esperada (não é simétrica em relação aos eixos, mas terá simetria com sua inversa em relação à reta y=x).

Passo 7

Gráfico de f^{-1} — relação com f e procedimentos para desenhar.
  • Regra prática e poderosa: o gráfico de f^{-1} é a reflexão do gráfico de f em relação à reta \,y=x.
  • A troca de papéis faz as assíntotas trocarem entre si:
    • Assíntotas de f: vertical x=2 e horizontal y=1.
    • Assíntotas de f^{-1}: vertical x=1 e horizontal y=2.
      (isso é porque se a assíntota vertical de f é x=a, a assíntota horizontal é y=b; para a inversa essas retas trocam).
  • Pontos correspondentes (reflexão em y=x): troque coordenadas de cada ponto de f.
    • (-2,0) em f vira (0,-2) em f^{-1}.
    • (0,-1) vira (-1,0).
    • (1,-3) vira (-3,1).
    • (3,5) vira (5,3).
    • (4,3) vira (3,4).
  • Verificação via fórmula: usar f^{-1}(x)=\dfrac{2(x+1)}{x-1} para calcular alguns valores e conferir, por exemplo: f^{-1}(0)=\frac{2(0+1)}{0-1}=-2,\qquad f^{-1}(-1)=0,\qquad f^{-1}(5)=3,que coincidem com os pontos refletidos.
  • Esboço prático de f^{-1}:
    1. Desenhe as assíntotas x=1 e y=2.
    2. Marque os pontos refletidos citados.
    3. Ligue-os com duas ramas que tenham comportamento vertical em x=1 e horizontal em y=2.

Passo 8

Dicas finais, verificação e incentivo (para a prova).
  • Em provas, rápido caminho para o gráfico da inversa: ache assíntotas e alguns pontos-chave de f e reflita-os na reta y=x.
  • Sempre informe domínio e imagem ao apresentar inversa (é parte da resposta).
  • Você já tem a fórmula explícita e os pontos para esboçar ambos os gráficos; pratique desenhando no papel as duas curvas e a reta y=x para ver a simetria — isso ajuda a fixar a ideia.

Resposta

f^{-1}(x)=\dfrac{2(x+1)}{x-1}
Domínio de f: \mathbb{R}\setminus\{2\}. Imagem de f: \mathbb{R}\setminus\{1\}.
Domínio de f^{-1}: \mathbb{R}\setminus\{1\}. Imagem de f^{-1}: \mathbb{R}\setminus\{2\}.
Assíntotas de f: vertical x=2, horizontal y=1.
Assíntotas de f^{-1}: vertical x=1, horizontal y=2.

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