Determine o domínio das funções:
Para a>1;
f(x)=\sqrt{\log _{a}(4-x)}

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que pede:
  • Foi dado que a>1.
  • A função é f(x)=\sqrt{\log_{a}(4-x)}.
  • Pergunta: determinar o domínio de f, ou seja, todos os x reais para os quais f(x) está definida.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A expressão dentro da raiz quadrada é \log_{a}(4-x).
  • A base do logaritmo satisfaz a>1.

Passo 2

Condição exigida pela raiz quadrada:
  • Para a raiz quadrada real \sqrt{\,\cdot\,} estar definida, o radicando deve ser maior ou igual a zero.
  • Logo precisamos de
\log_{a}(4-x) \ge 0.

Passo 3

Condição exigida pelo logaritmo:
  • Para \log_{a}(y) estar definido é necessário que o argumento y seja positivo: y>0.
  • Aqui o argumento é 4-x. Portanto também precisamos de
4-x>0.
  • Observação sobre a base: como foi dado a>1, o logaritmo é uma função crescente de seu argumento (isso será usado no próximo passo).

Passo 4

Resolver a desigualdade \log_{a}(4-x)\ge 0 usando que a>1:
  • Como a>1, a função y\mapsto\log_{a} y é crescente e \log_{a}(1)=0.
  • Portanto \log_{a}(4-x)\ge 0 é equivalente a
4-x \ge 1,
pois valores de y maiores ou iguais a 1 têm logaritmo maior ou igual a zero quando a>1.

Passo 5

Resolver a desigualdade algébrica:
4-x \ge 1.
Subtraindo 4 de ambos os lados:
-x \ge -3.
Multiplicando por -1 (isso inverte o sentido da desigualdade):
x \le 3.

Passo 6

Combinar com a condição de argumento positivo do logaritmo:
  • A condição 4-x>0 equivale a x<4.
  • A interseção das condições x\le 3 e x<4 é simplesmente x\le 3 (porque todo x\le 3 já satisfaz x<4).
  • Portanto o domínio contém todos os x tais que x\le 3.
Exemplos rápidos para conferir:
  • Para x=3: 4-x=1, \log_{a}1=0, \sqrt{0}=0 — ok.
  • Para x=4: 4-x=0, \log_{a}0 não está definido — não pode.
  • Para x=10: 4-x<0, argumento do log negativo — não pode.
  • Para x=-100: 4-x positivo e grande, \log_{a}(4-x)>0, raiz definida — ok.

Resposta

(-\infty,3]

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