Determine o domínio das funções:
Para
;
Para
Passo 1
O que o enunciado nos dá e o que pede:
- Foi dado que
. - A função é
. - Pergunta: determinar o domínio de
, ou seja, todos os reais para os quais está definida.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A expressão dentro da raiz quadrada é
. - A base do logaritmo satisfaz
.
Passo 2
Condição exigida pela raiz quadrada:
- Para a raiz quadrada real
estar definida, o radicando deve ser maior ou igual a zero. - Logo precisamos de
Passo 3
Condição exigida pelo logaritmo:
- Para
estar definido é necessário que o argumento seja positivo: . - Aqui o argumento é
. Portanto também precisamos de
- Observação sobre a base: como foi dado
, o logaritmo é uma função crescente de seu argumento (isso será usado no próximo passo).
Passo 4
Resolver a desigualdade
usando que
:
- Como
, a função é crescente e . - Portanto
é equivalente a
pois valores de
maiores ou iguais a
têm logaritmo maior ou igual a zero quando
.
Passo 5
Resolver a desigualdade algébrica:
Subtraindo 4 de ambos os lados:
Multiplicando por
(isso inverte o sentido da desigualdade):
Passo 6
Combinar com a condição de argumento positivo do logaritmo:
- A condição
equivale a . - A interseção das condições
e é simplesmente (porque todo já satisfaz ). - Portanto o domínio contém todos os
tais que .
Exemplos rápidos para conferir:
- Para
: , , — ok. - Para
: , não está definido — não pode. - Para
: , argumento do log negativo — não pode. - Para
: positivo e grande, , raiz definida — ok.