Calcule a derivada da função.
h(x)=\sqrt{x+\sqrt{x}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de h(x)=\sqrt{x+\sqrt{x}}. Vamos usar a regra da cadeia, que vale para composições de funções, além de saber derivar potências e raízes.

Passo 2

Definimos uma função auxiliar
u(x)=x+\sqrt{x}=x+x^{\tfrac12},
de modo que
h(x)=\sqrt{u(x)}=\bigl(u(x)\bigr)^{\tfrac12}.

Passo 3

Pela regra da cadeia, a derivada de h(x)=\bigl(u(x)\bigr)^{1/2} é
h'(x)=\frac{1}{2\sqrt{u(x)}}\;u'(x).

Passo 4

Agora calculamos u'(x). Como u(x)=x+x^{1/2}, temos
u'(x)=1+\frac12\,x^{-1/2} =1+\frac{1}{2\sqrt{x}}.

Passo 5

Substituindo u'(x) e u(x) em h'(x), obtemos
h'(x) =\frac{1+\frac{1}{2\sqrt{x}}}{2\sqrt{x+\sqrt{x}}}.

Passo 6

Para simplificar, escrevemos o numerador sobre um único denominador:
1+\frac{1}{2\sqrt{x}} =\frac{2\sqrt{x}+1}{2\sqrt{x}}.
Logo
h'(x) =\frac{\frac{2\sqrt{x}+1}{2\sqrt{x}}}{2\sqrt{x+\sqrt{x}}} =\frac{2\sqrt{x}+1}{4\,\sqrt{x}\,\sqrt{x+\sqrt{x}}}.

Resposta

h'(x)=\frac{2\sqrt{x}+1}{4\sqrt{x}\,\sqrt{x+\sqrt{x}}}.

Exercícios relacionados