Calcule a derivada da função.
g(x)=\operatorname{sec} (\operatorname{tg} x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de g(x)=\operatorname{sec}(\tan x). O conteúdo envolvido é derivada de funções compostas, ou seja, vamos usar a regra da cadeia em duas etapas.

Passo 2

Primeiro identificamos as funções compostas:
a) a externa f(u)=\operatorname{sec}(u),
b) a intermediária u(x)=\tan(x).
Precisamos de f'(u) e u'(x).

Passo 3

Derivada da função externa f(u)=\operatorname{sec}(u) em relação a u é
f'(u)=\operatorname{sec}(u)\,\tan(u).

Passo 4

Derivada da função intermediária u(x)=\tan(x) em relação a x é
u'(x)=\operatorname{sec}^2(x).

Passo 5

Pela regra da cadeia,
g'(x)=f'(u(x))\cdot u'(x) =\operatorname{sec}(\tan x)\,\tan(\tan x)\;\operatorname{sec}^2(x).

Resposta

g'(x)=\operatorname{sec}(\tan x)\,\tan(\tan x)\,\operatorname{sec}^2(x).

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