A radioatividade do plutônio decai à metade em T=86 anos. Este T é chamado de meia vida. Em fenômenos de radioatividade, a razão de decaimento é constante. Escreva, na forma A(t)=A_{0} \cdot r^{t} com t em anos, a lei decaimento radioativo de uma amostra de plutônio, encontrando o valor de r. Dê também a taxa de decaimento radioativo anual do plutônio.
Observação: O valor de A_{0} depende da amostra.

Passo 1

O enunciado dá que a meia-vida do plutônio é T=86 anos (ou seja, após 86 anos a atividade fica pela metade). O que se pede:
  • Escrever a lei de decaimento na forma A(t)=A_{0}\cdot r^{t} com t em anos, encontrando o valor de r.
  • Determinar a taxa de decaimento anual do plutônio (ou seja, a fração percentual que se perde a cada ano).
    Observação já dada: A_{0} depende da amostra e fica como parâmetro.

Passo 2

Modelagem e equação que usamos: se a atividade após t anos é A(t)=A_{0}\cdot r^{t} e a meia-vida é T=86, então ao tempo t=86 temos metade da atividade inicial. Escrevendo isso:
A(86)=A_{0}\cdot r^{86}=\frac{A_{0}}{2}.
Cancelando A_{0} (assumindo A_{0}\neq0) obtemos a equação que determina r:
r^{86}=\frac{1}{2}.

Passo 3

Resolver para r tomando a raiz 86-ésima (ou usando logaritmo). A solução positiva é
r=\left(\frac{1}{2}\right)^{1/86}.
Uma forma equivalente, útil para cálculo numérico, é usar logaritmo natural:
r=\exp\!\left(\frac{\ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right)}{86}\right)=\exp\!\left(-\frac{\ln 2}{86}\right).

Passo 4

Avaliação numérica aproximada (mostrando passos):
\ln 2 \approx 0{,}693147, \qquad \frac{\ln 2}{86}\approx 0{,}0080624,
logo
r=\exp\!\big(-0{,}0080624\big)\approx 0{,}99197.
Interpretação: r é o fator de retenção anual, isto é, a fração da atividade que permanece após 1 ano.

Passo 5

Calcular a taxa de decaimento anual (fração perdida por ano). A fração perdida em um ano é 1-r. Assim,
1-r\approx 1-0{,}99197=0{,}00803,
o que, em porcentagem, é aproximadamente 0{,}803\% por ano. Em palavras: a cada ano a atividade diminui cerca de 0{,}803\%.

Resposta

A(t)=A_{0}\cdot r^{t} com r=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{1/86}\approx 0{,}99197
Taxa de decaimento anual \approx 0{,}803\% por ano.

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