Determine o valor de
, tal que a função
para
e
satisfaça as propriedades de uma função densidade de probabilidade conjunta.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o valor de
tal que a função
seja uma função densidade de probabilidade conjunta, quando o suporte é dado por
-
, -
, -
.
Informações relevantes fornecidas:
- A função é constante igual a
dentro da região indicada e zero fora. - A região de apoio é o conjunto de pontos
no quadrado unitário com .
Passo 2
Lembrete teórico (o que caracteriza uma densidade conjunta): uma função
é densidade de probabilidade conjunta se, e somente se,
-
para todos , e -
Aqui, como
na região dada e
fora, a condição 1 implica simplesmente que
. A condição 2 é a que vamos usar para determinar o valor numérico de
.
Passo 3
Descrever a região de integração (o suporte):
- As desigualdades
e limitam ao quadrado unitário. - A desigualdade
corta esse quadrado pela reta , mantendo apenas a porção abaixo dela.
Portanto, a região é um triângulo aberto com vértices em, e . As bordas (onde , ou ) têm medida zero, então não afetam a integral — podemos integrar sobre o triângulo fechado sem problema.
Passo 4
Escrever a condição da integral igual a 1 sobre a região triangular. Podemos usar integração iterada escolhend o limite de
em função de
:
Como
na região, isso vira
Passo 5
Montar a integral iterada com os limites explícitos. Para
variando de
a
, o
varia de
a
. Assim
Passo 6
Calcular a integral interna; é simples porque
é constante em
:
Agora a integral externa:
Passo 7
Calcular
. Fazer passo a passo:
Portanto a integral total vale
.
Passo 8
Impor que a integral total seja
:
Resolver para
:
Passo 9
Verificação rápida das condições:
-
, satisfa z a não negatividade. - A integral sobre a região é
por construção.
Logoé o valor correto.