Determine o valor de c, tal que a função f(x, y)=c para 0<x<1,0<y<1 e 0<x+y<1 satisfaça as propriedades de uma função densidade de probabilidade conjunta.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o valor de c tal que a função
f(x,y)=c
seja uma função densidade de probabilidade conjunta, quando o suporte é dado por
  • 0<x<1,
  • 0<y<1,
  • 0<x+y<1.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é constante igual a c dentro da região indicada e zero fora.
  • A região de apoio é o conjunto de pontos (x,y) no quadrado unitário com x+y<1.

Passo 2

Lembrete teórico (o que caracteriza uma densidade conjunta): uma função f(x,y) é densidade de probabilidade conjunta se, e somente se,
  1. \,f(x,y)\ge0 para todos (x,y), e
  2. \displaystyle \iint_{\mathbb{R}^2} f(x,y)\,dx\,dy = 1.
Aqui, como f(x,y)=c na região dada e 0 fora, a condição 1 implica simplesmente que c\ge0. A condição 2 é a que vamos usar para determinar o valor numérico de c.

Passo 3

Descrever a região de integração (o suporte):
  • As desigualdades 0<x<1 e 0<y<1 limitam ao quadrado unitário.
  • A desigualdade 0<x+y<1 corta esse quadrado pela reta x+y=1, mantendo apenas a porção abaixo dela.
    Portanto, a região é um triângulo aberto com vértices em (0,0), (1,0) e (0,1). As bordas (onde x=0, y=0 ou x+y=1) têm medida zero, então não afetam a integral — podemos integrar sobre o triângulo fechado sem problema.

Passo 4

Escrever a condição da integral igual a 1 sobre a região triangular. Podemos usar integração iterada escolhend o limite de y em função de x:
\iint_{\text{triângulo}} f(x,y)\,dx\,dy = 1.â
Como f(x,y)=c na região, isso vira
\iint_{\text{triângulo}} c\,dx\,dy = 1.â

Passo 5

Montar a integral iterada com os limites explícitos. Para x variando de 0 a 1, o y varia de 0 a 1-x. Assim
\int_{x=0}^{1}\left(\int_{y=0}^{1-x} c\,dy\right)dx = 1.

Passo 6

Calcular a integral interna; é simples porque c é constante em y:
\int_{y=0}^{1-x} c\,dy = c\,(1-x).
Agora a integral externa:
\int_{0}^{1} c\,(1-x)\,dx = c\int_{0}^{1} (1-x)\,dx.

Passo 7

Calcular \displaystyle \int_{0}^{1} (1-x)\,dx. Fazer passo a passo:
\int_{0}^{1} (1-x)\,dx = \left[ x - \frac{x^{2}}{2} \right]_{0}^{1} = \left(1 - \frac{1}{2}\right)-0 = \frac{1}{2}.
Portanto a integral total vale c\cdot \dfrac{1}{2}.

Passo 8

Impor que a integral total seja 1:
c\cdot \frac{1}{2} = 1.
Resolver para c:
c = 2.

Passo 9

Verificação rápida das condições:
  • c=2\ge0, satisfa z a não negatividade.
  • A integral sobre a região é 1 por construção.
    Logo c=2 é o valor correto.

Resposta

c=2

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