As especificações na embalagem das lâmpadas de reposição Sylvania CFL 65 W que consomem somente 16 W , afirmam que essas lâmpadas apresentam uma média de vida útil de 8000 horas. Suponha que a distribuição das vidas úteis de todas essas lâmpadas seja normal, com uma média aritmética de 8000 horas e um desvio-padrão de 400 horas. Faça com que \boldsymbol{x} represente a vida útil de uma dessas lâmpadas, aleatoriamente selecionada.
Encontre \boldsymbol{x} de maneira que somente 22,5 \% dessas lâmpadas apresentem uma vida útil mais longa do que esse valor.

Passo 1

O enunciado diz que a vida útil X das lâmpadas é normalmente distribuída com média \mu=8000 horas e desvio-padrão \sigma=400 horas. Precisamos achar o valor x tal que somente 22{,}5\% das lâmpadas tenham vida útil maior que x, ou seja,
P(X > x) = 0{,}225.

Passo 2

Para usar a tabela da normal padrão, padronizamos X. Seja
Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{X - 8000}{400}.
Então
P(X > x) = 0{,}225 \quad\Longleftrightarrow\quad P\bigl(Z > \tfrac{x - 8000}{400}\bigr) = 0{,}225.
Como P(Z > z_0)=0{,}225 equivale a P(Z \le z_0)=0{,}775, definimos
z_0 = \frac{x - 8000}{400} \quad\text{tal que}\quad P(Z \le z_0)=0{,}775.

Passo 3

Consultando a tabela da normal padrão, o valor de z_0 que satisfaz P(Z \le z_0)=0{,}775 é aproximadamente
z_0 \approx 0{,}755.
Logo
\frac{x - 8000}{400} = 0{,}755 \quad\Longrightarrow\quad x = 8000 + 0{,}755 \times 400 = 8000 + 302 = 8302.

Resposta

Aproximadamente 8302 horas.

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