Em janeiro de 2003 o trabalhador norte-americano passou em média 77 horas conectado à internet enquanto se encontrava no trabalho (CNBC, 15 de março de 2003). Suponha que os tempos estejam normalmente distribuídos e que o desvio padrão seja de 20 horas.
a. Qual é a probabilidade de um trabalhador escolhido aleatoriamente passar menos de 50 horas conectado à internet?
b. Qual porcentagem de trabalhadores passaram mais de 100 horas conectados à internet?
c. Uma pessoa é classificada como forte usuário se estiver entre os 20 \% que fazem mais uso. Quantas horas um trabalhador deve manter-se conectado à internet para ser classificado como forte usuário?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e perguntas.
Dados: a média dos tempos conectados é \mu = 77 horas e o desvio padrão é \sigma = 20 horas. Supõe-se que os tempos sigam uma distribuição normal.
Perguntas:
  1. (a) Qual é a probabilidade de um trabalhador escolhido aleatoriamente passar menos de \,50 horas conectado à internet?
  2. (b) Qual porcentagem de trabalhadores passaram mais de \,100 horas conectados à internet?
  3. (c) Uma pessoa é classificada como forte usuário se estiver entre os 20\% que fazem mais uso. Quantas horas um trabalhador deve manter-se conectado para ser classificado como forte usuário?

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aula rápida e prática).
Quando uma variável X é normalmente distribuída com média \mu e desvio padrão \sigma, escrevemos X \sim N(\mu,\sigma^2). Para transformar um valor x dessa distribuição em um valor da distribuição normal padrão (média 0, desvio padrão 1) usamos o escore z:
z=\frac{x-\mu}{\sigma}.
Aqui z é a distância, medida em desvios-padrão, entre x e a média \mu. Depois usamos a função de distribuição acumulada da normal padrão, que denotamos por \Phi(z)=P(Z\le z) com Z\sim N(0,1). Assim:
P(X\le x)=\Phi\!\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right).
Propriedade útil (simetria): para z>0,
\Phi(-z)=1-\Phi(z).
Em prova prática: calcule z, consulte a tabela da normal padrão ou use uma calculadora/boa aproximação para \Phi(z), e aplique as relações acima para obter a probabilidade desejada.

Passo 3

Resolvendo (a): probabilidade de menos de \,50 horas.
Aplicamos a fórmula do z com \mu=77 e \sigma=20:
z=\frac{50-77}{20}=\frac{-27}{20}=-1,35.
Então
P(X<50)=P\!\left(Z<-1,35\right)=\Phi(-1,35).
Usando a propriedade de simetria e a tabela da normal padrão:
\Phi(-1,35)=1-\Phi(1,35).
Da tabela (ou valor conhecido), \Phi(1,35)\approx 0,9115. Logo
\Phi(-1,35)\approx 1-0,9115=0,0885.
Interpretação: cerca de 8{,}85\% dos trabalhadores passam menos de \,50 horas conectados.

Passo 4

Resolvendo (b): porcentagem que passaram mais de \,100 horas.
Calcule o z para x=100:
z=\frac{100-77}{20}=\frac{23}{20}=1,15.
Queremos P(X>100)=P(Z>1,15)=1-\Phi(1,15).
Da tabela, \Phi(1,15)\approx 0,8749. Portanto
P(X>100)\approx 1-0,8749=0,1251.
Interpretação: aproximadamente 12{,}51\% dos trabalhadores passaram mais de \,100 horas conectados.

Passo 5

Resolvendo (c): quantas horas para estar entre os 20\% que mais usam (top 20\%).
"Top 20\%" significa que a probabilidade de um trabalhador estar acima desse limite x_{0} é 0{,}20:
P(X>x_{0})=0{,}20 \quad\Longrightarrow\quad P(X\le x_{0})=0{,}80.
Transformando para z:
\Phi\!\left(\frac{x_{0}-\mu}{\sigma}\right)=0{,}80.
Do inverso da função \Phi, o valor z que satisfaz \Phi(z)=0{,}80 é aproximadamente z\approx 0,8416 (valor padrão das tabelas). Então
\frac{x_{0}-77}{20}=0{,}8416.
Multiplicando:
x_{0}-77=20\cdot 0{,}8416=16{,}832.
Logo
x_{0}=77+16{,}832=93{,}832\\ \text{horas}.
Arredondando de forma prática para provas (uma casa decimal ou hora inteira), obtemos aproximadamente \,93{,}8 horas (ou cerca de \,94 horas). Interpretação: para ser um forte usuário (top 20\%) é preciso estar conectado cerca de \,93{,}8 horas ou mais.

Resposta

(a) P(X<50)\approx 0{,}0885 (ou 8{,}85\%).
(b) P(X>100)\approx 0{,}1251 (ou 12{,}51\%).
(c) Limite para top 20\%: aproximadamente x_{0}=93{,}8 horas.

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