A média pluviométrica durante o mês de abril em Dallas, Texas, é de 88,9 milímetros (The World Almanac, 2000). Suponha que uma distribuição normal seja aplicável e que o desvio padrăo seja de
.
a. Em qual porcentagem do tempo a quantidade de chuva ultrapassou 127 mm em abril?
b. Em qual porcentagem do tempo a quantidade de chuva foi inferior a
em abril?
c. Um mês é classificado como extremamente úmido se a quantidade de chuva se situar nos
superior em relação a esse mês. Quanta chuva deve cair para que um mês de abril seja classificado como extremamente úmido?
a. Em qual porcentagem do tempo a quantidade de chuva ultrapassou 127 mm em abril?
b. Em qual porcentagem do tempo a quantidade de chuva foi inferior a
c. Um mês é classificado como extremamente úmido se a quantidade de chuva se situar nos
Passo 1
O enunciado dá a média pluviométrica de abril em Dallas e o desvio padrão, e pede três coisas. Vou listar claramente o que foi dado e o que se pede:
Dados:
Pressuposto: a quantidade de chuva segue uma distribuição normal.
Perguntas:
- Em qual porcentagem do tempo a chuva ultrapassou
em abril? (ou seja, calcular ) - Em qual porcentagem do tempo a chuva foi inferior a
em abril? (ou seja, calcular ) - Qual é o limite de chuva acima do qual um mês pertence ao
superior (mês extremamente úmido)? (ou seja, encontrar tal que )
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática):
- A distribuição normal com média
e desvio padrão tem densidade em que as probabilidades são obtidas via a função de distribuição acumulada (CDF) da normal padrão. - Para usar tabelas ou calculadora, transformamos a variável
em uma variável padrão (normal padrão, com média e desvio ) usando o escore :
Aqui
é o valor de chuva (em
),
é a média e
é o desvio padrão. A razão para isso é que tabelas/padrões estão definidas para
, então fazemos essa transformação linear.
- A função
representa , a probabilidade acumulada até para a normal padrão. - Regras úteis:
-
. -
. - Para obter um quantil
tal que , primeiro encontra-se e depois .
-
- Vou usar valores de tabela da normal padrão (ou valores conhecidos): por exemplo
, , , . Para o quantil usarei (valor padrão).
Passo 3
Parte (a): calcular
.
- Calculamos o escore
para :
- Queremos
. - Consultando a tabela da normal padrão:
e . Interpolando linearmente para (que está do caminho de para ):
- Então
Isto significa cerca de
do tempo.
Passo 4
Parte (b): calcular
.
- Calculamos o escore
para :
Observação agradável:
exato porque
.
2. Queremos . Usamos a simetria:
, então
2. Queremos
- Na tabela:
e . Interpolando para (meio termo):
- Portanto
Isto é cerca de
do tempo.
Passo 5
Parte (c): encontrar o limite
para o
superior, isto é
.
- Primeiro traduzimos:
implica . Logo precisamos do quantil . - Pegamos o z correspondente:
(valor padrão de tabela). - Revertendo a transformação
, temos
- Substituindo:
Calculemos o produto passo a passo:
- Então
Arredondando para duas casas decimais,
. Ou seja, um abril é “extremamente úmido” se cair, aproximadamente, mais de
.
Resposta
Limite para os