A média pluviométrica durante o mês de abril em Dallas, Texas, é de 88,9 milímetros (The World Almanac, 2000). Suponha que uma distribuição normal seja aplicável e que o desvio padrăo seja de 20,32 \mathrm{~mm}.
a. Em qual porcentagem do tempo a quantidade de chuva ultrapassou 127 mm em abril?
b. Em qual porcentagem do tempo a quantidade de chuva foi inferior a 76,2 \mathrm{~mm} em abril?
c. Um mês é classificado como extremamente úmido se a quantidade de chuva se situar nos 10 \% superior em relação a esse mês. Quanta chuva deve cair para que um mês de abril seja classificado como extremamente úmido?

Passo 1

O enunciado dá a média pluviométrica de abril em Dallas e o desvio padrão, e pede três coisas. Vou listar claramente o que foi dado e o que se pede:
Dados:
\mu = 88,9\\ \mathrm{mm}
\sigma = 20,32\\ \mathrm{mm}
Pressuposto: a quantidade de chuva segue uma distribuição normal.
Perguntas:
  1. Em qual porcentagem do tempo a chuva ultrapassou 127\\ \mathrm{mm} em abril? (ou seja, calcular P(X>127))
  2. Em qual porcentagem do tempo a chuva foi inferior a 76,2\\ \mathrm{mm} em abril? (ou seja, calcular P(X<76,2))
  3. Qual é o limite de chuva acima do qual um mês pertence ao 10\% superior (mês extremamente úmido)? (ou seja, encontrar x tal que P(X>x)=0,10)

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática):
  • A distribuição normal com média \mu e desvio padrão \sigma tem densidade em que as probabilidades são obtidas via a função de distribuição acumulada (CDF) da normal padrão.
  • Para usar tabelas ou calculadora, transformamos a variável X em uma variável padrão Z (normal padrão, com média 0 e desvio 1) usando o escore z:
z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
Aqui X é o valor de chuva (em \mathrm{mm}), \mu é a média e \sigma é o desvio padrão. A razão para isso é que tabelas/padrões estão definidas para Z, então fazemos essa transformação linear.
  • A função \Phi(z) representa P(Z\le z), a probabilidade acumulada até z para a normal padrão.
  • Regras úteis:
    • P(X>a)=1-P(X\le a)=1-\Phi\!\left(\dfrac{a-\mu}{\sigma}\right).
    • P(X<a)=\Phi\!\left(\dfrac{a-\mu}{\sigma}\right).
    • Para obter um quantil x tal que P(X\le x)=p, primeiro encontra-se z_p=\Phi^{-1}(p) e depois x=\mu+z_p\sigma.
  • Vou usar valores de tabela da normal padrão (ou valores conhecidos): por exemplo \Phi(1,87)=0,9693, \Phi(1,88)=0,9699, \Phi(0,62)=0,7324, \Phi(0,63)=0,7357. Para o quantil p=0,90 usarei z_{0,90}\approx 1,2816 (valor padrão).

Passo 3

Parte (a): calcular P(X>127).
  1. Calculamos o escore z para X=127:
z=\frac{127-\mu}{\sigma}=\frac{127-88,9}{20,32}=\frac{38,1}{20,32}\approx 1,874.
  1. Queremos P(X>127)=1-\Phi(1,874).
  2. Consultando a tabela da normal padrão: \Phi(1,87)=0,9693 e \Phi(1,88)=0,9699. Interpolando linearmente para 1,874 (que está 0,4 do caminho de 1,87 para 1,88):
\Phi(1,874)\approx 0,9693+0,4(0,9699-0,9693)=0,9693+0,4(0,0006)=0,96954\approx 0,9695.
  1. Então
P(X>127)=1-0,9695=0,0305.
Isto significa cerca de 3,05\% do tempo.

Passo 4

Parte (b): calcular P(X<76,2).
  1. Calculamos o escore z para X=76,2:
z=\frac{76,2-\mu}{\sigma}=\frac{76,2-88,9}{20,32}=\frac{-12,7}{20,32}=-0,625.
Observação agradável: -12,7/20,32=-0,625 exato porque 20,32\times 0,625=12,7.
2. Queremos P(X<76,2)=\Phi(-0,625). Usamos a simetria: \Phi(-z)=1-\Phi(z), então
\Phi(-0,625)=1-\Phi(0,625).
  1. Na tabela: \Phi(0,62)=0,7324 e \Phi(0,63)=0,7357. Interpolando para 0,625 (meio termo):
\Phi(0,625)\approx \frac{0,7324+0,7357}{2}=0,73405\approx 0,7341.
  1. Portanto
P(X<76,2)=1-0,73405=0,26595\approx 0,2660.
Isto é cerca de 26,60\% do tempo.

Passo 5

Parte (c): encontrar o limite x para o 10\% superior, isto é P(X>x)=0,10.
  1. Primeiro traduzimos: P(X>x)=0,10 implica P(X\le x)=0,90. Logo precisamos do quantil p=0,90.
  2. Pegamos o z correspondente: z_{0,90}=\Phi^{-1}(0,90)\approx 1,2816 (valor padrão de tabela).
  3. Revertendo a transformação z=(x-\mu)/\sigma, temos
x=\mu+z_{0,90}\sigma.
  1. Substituindo:
x=88,9 + 1,2816\times 20,32.
Calculemos o produto passo a passo:
1,2816\times 20,32 = 20,32 + 0,2816\times 20,32.
0,2816\times 20,32 = 20,32\times 0,2816 \approx 0,410112
20,32 + 0,410112 = 26,042112\approx 26,0421.
  1. Então
x\approx 88,9 + 26,0421 = 114,9421\\ \mathrm{mm}.
Arredondando para duas casas decimais, x\approx 114,94\\ \mathrm{mm}. Ou seja, um abril é “extremamente úmido” se cair, aproximadamente, mais de 114,94\\ \mathrm{mm}.

Resposta

P(X>127)\approx 0,0305 (ou seja, 3,05\%)
P(X<76,2)\approx 0,2660 (ou seja, 26,60\%)
Limite para os 10\% superiores: x\approx 114,94\\ \mathrm{mm}

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