De acordo com o Centro Nacional para Estatísticas de Saúde dos EUA, 25,2% dos homens e 23,6% das mulheres nunca tomam café da manhã. Suponha que amostras aleatórias de 200 homens e 200 mulheres sejam escolhidas. Obtenha a probabilidade de que
a) pelo menos 110 dessas 400 pessoas nunca tomem café da manhã;
b) o número de mulheres que nunca tomam café da manhã seja pelo menos tão grande quanto o número de homens que nunca tomam café da manhã.
Dica: Use a aproximação normal para a distribuição binomial.

Passo 1

Nesse exercício temos duas amostras independentes: uma de 200 homens e outra de 200 mulheres, em que a probabilidade de ‘‘nunca tomar café da manhã’’ é 25,2% para homens e 23,6% para mulheres. Vamos chamar de Xm o número de homens que não tomam café da manhã e de Xw o número de mulheres que não tomam café da manhã. O que precisamos é: (a) P(Xm + Xw >= 110) e (b) P(Xw >= Xm). Como n é grande e p não é nem muito perto de 0 nem de 1, usamos a aproximação normal à binomial.

Passo 2

Na distribuição binomial Bin(n,p), a média é mu = n p e a variância é sigma^2 = n p (1-p). Aqui temos duas binomiais independentes:
Xm sim Bin(200,0.252) com
mum = 200 cdot 0.252 = 50.4,
sigmam^2 = 200 cdot 0.252 cdot (1-0.252) = 200 cdot 0.252 cdot 0.748 = 37.6992,
Xw sim Bin(200,0.236) com
muw = 200 cdot 0.236 = 47.2,
sigmaw^2 = 200 cdot 0.236 cdot (1-0.236) = 200 cdot 0.236 cdot 0.764 = 36.0608

Passo 3

Para a parte (a) definimos S = Xm + Xw. Como são independentes,
muS = mum + muw = 50.4 + 47.2 = 97.6,
sigmaS^2 = sigmam^2 + sigmaw^2 = 37.6992 + 36.0608 = 73.76,
sigmaS = raiz73.76 approx 8.588
Pelo teorema do limite central, S é aproximada por N(97.6,8.588^2). Para P(S >= 110) usamos correção de continuidade:
P(S >= 110) approx Pl(S >= 109.5r) = Pl(Z >= 109.5 - 97.68.588r)
Calculando
Z = 109.5 - 97.68.588 approx 1.386,
e então
P(S >= 110) approx 1 - Phi(1.386) approx 1 - 0.917 = 0.083

Passo 4

Para a parte (b) definimos a diferença D = Xw - Xm. Novamente, por independência,
muD = muw - mum = 47.2 - 50.4 = -3.2,
sigmaD^2 = sigmaw^2 + sigmam^2 = 36.0608 + 37.6992 = 73.76,
sigmaD = raiz73.76 approx 8.588
Aproximamos D por N(-3.2,8.588^2). Queremos
P(Xw >= Xm) = P(D >= 0)
Com correção de continuidade,
P(D >= 0) approx Pl(D >= -0.5r) = Pl(Z >= -0.5 - (-3.2)8.588r)
Calculando
Z = 2.78.588 approx 0.314,
e então
P(D >= 0) approx 1 - Phi(0.314) approx 1 - 0.624 = 0.376

Resposta

(a) ≈ 0.083 (b) ≈ 0.376

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