De acordo com o Centro Nacional para Estatísticas de Saúde dos EUA, 25,2% dos homens e 23,6% das mulheres nunca tomam café da manhã. Suponha que amostras aleatórias de 200 homens e 200 mulheres sejam escolhidas. Obtenha a probabilidade de que
a) pelo menos 110 dessas 400 pessoas nunca tomem café da manhã;
b) o número de mulheres que nunca tomam café da manhã seja pelo menos tão grande quanto o número de homens que nunca tomam café da manhã.
Dica: Use a aproximação normal para a distribuição binomial.
a) pelo menos 110 dessas 400 pessoas nunca tomem café da manhã;
b) o número de mulheres que nunca tomam café da manhã seja pelo menos tão grande quanto o número de homens que nunca tomam café da manhã.
Dica: Use a aproximação normal para a distribuição binomial.
Passo 1
Nesse exercício temos duas amostras independentes: uma de 200 homens e outra de 200 mulheres, em que a probabilidade de ‘‘nunca tomar café da manhã’’ é 25,2% para homens e 23,6% para mulheres. Vamos chamar de
o número de homens que não tomam café da manhã e de
o número de mulheres que não tomam café da manhã. O que precisamos é: (a)
e (b)
. Como
é grande e
não é nem muito perto de 0 nem de 1, usamos a aproximação normal à binomial.
Passo 2
Na distribuição binomial
, a média é
e a variância é
. Aqui temos duas binomiais independentes:
com
Passo 3
Para a parte (a) definimos
. Como são independentes,
Pelo teorema do limite central,
é aproximada por
. Para
usamos correção de continuidade:
Calculando
e então
Passo 4
Para a parte (b) definimos a diferença
. Novamente, por independência,
Aproximamos
por
. Queremos
Com correção de continuidade,
Calculando
e então
Resposta
(a) ≈ 0.083 (b) ≈ 0.376