O total de chamadas que passam por uma torre de celular ao longo de uma hora é uma variável aleatória N com distribuição de Poisson de média
. Para tentar distinguir os tipos de chamadas recebidas, considere que cada chamada tem probabilidade
de ser local e
de ser internacional ou interurbana. Seja
o total de chamadas locais recebidas pela central em uma hora e
o total de chamadas internacionais ou interurbanas recebidas pela torre no mesmo período. Para mostrar que
e
são independentes, e tem distribuição de Poisson de média
e
, respectivamente, siga os passos abaixo.
a) Mostre que
b) Argumente que
c) Encontre a função de probabilidade conjunta de
e
;
d) Determine as funções de probabilidade marginais de
e
e conclua o resultado.
a) Mostre que
b) Argumente que
d) Determine as funções de probabilidade marginais de
Passo 1
O enunciado diz que o número total de chamadas em uma hora,
, é Poisson(
). Cada chamada, de forma independente, é local com probabilidade
ou não-local com probabilidade
. Definimos
como o número de chamadas locais e
como o número de chamadas não-locais. O conteúdo aqui é o “thinning” (desagregação) da Poisson: queremos mostrar que
e
são independentes e Poisson com médias
e
, respectivamente.
Passo 2
Para calcular a probabilidade conjunta, usamos a lei da probabilidade total condicionando em
. Obtemos:
Passo 3
Dado
, cada chamada é local com probabilidade
e não-local com probabilidade
, de modo que
segue uma multinomial (ou binomial, já que só há dois tipos). Assim, quando
,
e é zero se
.
Passo 4
Substituindo
e a PMF de Poisson de
,
e multiplicando, vem
Passo 5
Fatorando essa expressão, vemos que ela se separa em produto de duas Poissons:
Isso mostra que
e
são independentes, com
e
.
Resposta
As variáveis
e
são independentes, com distribuições
e
.