O total de chamadas que passam por uma torre de celular ao longo de uma hora é uma variável aleatória N com distribuição de Poisson de média lambda>0. Para tentar distinguir os tipos de chamadas recebidas, considere que cada chamada tem probabilidade p de ser local e 1-p de ser internacional ou interurbana. Seja N1 o total de chamadas locais recebidas pela central em uma hora e N2 o total de chamadas internacionais ou interurbanas recebidas pela torre no mesmo período. Para mostrar que N1 e N2 são independentes, e tem distribuição de Poisson de média lambda p e lambda(1-p), respectivamente, siga os passos abaixo.
a) Mostre que
P(N1=i, N2=j mid N=i+j)=binomi+ji p^i(1-p)^j
b) Argumente que
N1
c) Encontre a função de probabilidade conjunta de N2 e N1;
d) Determine as funções de probabilidade marginais de N2 e e conclua o resultado.

Passo 1

O enunciado diz que o número total de chamadas em uma hora, N, é Poisson( lambda>0). Cada chamada, de forma independente, é local com probabilidade p ou não-local com probabilidade 1-p. Definimos N1 como o número de chamadas locais e N2 como o número de chamadas não-locais. O conteúdo aqui é o “thinning” (desagregação) da Poisson: queremos mostrar que N1 e N2 são independentes e Poisson com médias lambda p e lambda(1-p), respectivamente.

Passo 2

Para calcular a probabilidade conjunta, usamos a lei da probabilidade total condicionando em N=i+j. Obtemos:
P(N1=i,N2=j) =P(N1=i,N2=jmid N=i+j),P(N=i+j)

Passo 3

Dado N=n, cada chamada é local com probabilidade p e não-local com probabilidade 1-p), de modo que (N1,N2) segue uma multinomial (ou binomial, já que só há dois tipos). Assim, quando i+j=n,
P(N1=i,N2=jmid N=i+j=n) =binomnip^i(1-p)^j,
e é zero se i+jneq n.

Passo 4

Substituindo n=i+j e a PMF de Poisson de N,
P(N=i+j)=e^-lambdalambda^i+j(i+j)!,
e multiplicando, vem
P(N1=i,N2=j) =e^-lambdalambda^i+j(i+j)!binomi+jip^i(1-p)^j =e^-lambdalambda^i+ji!,j!p^i(1-p)^j

Passo 5

Fatorando essa expressão, vemos que ela se separa em produto de duas Poissons:
P(N1=i,N2=j) =l(e^-lambda p(lambda p)^ii!r)cdotl(e^-lambda(1-p)(lambda(1-p))^jj!r)
Isso mostra que N1 e N2 são independentes, com N1simPoisson(lambda p) e N2simPoisson(lambda(1-p)).

Resposta

As variáveis N1 e N2 são independentes, com distribuições N1simPoisson(lambda p) e N2simPoisson(lambda(1-p)).

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