Um vetor aleatório (
) é dito uniformemente distribuído em uma região limitada
do plano se para alguma
constante
, sua densidade conjunta é dada por
a) Mostre que
área da região
;
b) Mostre que se
então
são independentes.
constante
b) Mostre que se
Passo 1
O enunciado define uma distribuição uniforme bidimensional em uma região R ⊂ ℝ² com densidade conjunta constante c em R e zero fora. Precisamos usar normalização de densidade para achar c (parte a) e, no caso de R ser um retângulo [a,b]×[c,d], mostrar que as marginais se fatoram de modo que f_X(x)·f_Y(y)=f(x,y), provando independência (parte b).
Passo 2
Para a) aplicamos a condição de normalização de qualquer densidade conjunta, que é ∫∫_ℝ² f(x,y) dA = 1. Como f(x,y)=c apenas em R e zero fora, temos
Logo, isolando, fica
Passo 3
Para b) em R definimos R=[a,b]×[c,d] e sabemos de (a) que c=1/((b−a)(d−c)). Vamos calcular a densidade marginal de X:
Passo 4
A densidade marginal de X é dada por
Como f(x,y)=c somente para y∈[c,d], para x∈[a,b] temos
Fora de [a,b] vale f_X(x)=0.
Passo 5
A densidade marginal de Y é
E como f(x,y)=c somente para x∈[a,b], para y∈[c,d] obtemos
Fora de [c,d] vale f_Y(y)=0.
Passo 6
Para concluir, dentro do retângulo temos
Mas como c=1/[(b−a)(d−c)] isso dá c²(b−a)(d−c)=c. Ou seja,
em todo ponto de R, o que é exatamente a condição de independência entre X e Y.
Resposta
a) Pela normalização obtemos 1/c = Área®. b) Para R=[a,b]×[c,d] as marginais satisfazem f_X(x)·f_Y(y)=f(x,y), logo X e Y são independentes.