Um vetor aleatório ( X, Y ) é dito uniformemente distribuído em uma região limitada R subset R^2 do plano se para alguma
constante c in R, sua densidade conjunta é dada por
f(x, y)= c, & se (x, y) in R 0, & caso contrário á
a) Mostre que 1 / c= área da região R;
b) Mostre que se R=[a, b] times[c, d] então X, Y são independentes.

Passo 1

O enunciado define uma distribuição uniforme bidimensional em uma região R ⊂ ℝ² com densidade conjunta constante c em R e zero fora. Precisamos usar normalização de densidade para achar c (parte a) e, no caso de R ser um retângulo [a,b]×[c,d], mostrar que as marginais se fatoram de modo que f_X(x)·f_Y(y)=f(x,y), provando independência (parte b).

Passo 2

Para a) aplicamos a condição de normalização de qualquer densidade conjunta, que é ∫∫_ℝ² f(x,y) dA = 1. Como f(x,y)=c apenas em R e zero fora, temos
c times Área(R) = 1 Á
Logo, isolando, fica
1/c = Área(R) Á

Passo 3

Para b) em R definimos R=[a,b]×[c,d] e sabemos de (a) que c=1/((b−a)(d−c)). Vamos calcular a densidade marginal de X:

Passo 4

A densidade marginal de X é dada por
fX(x)=integral-infty^+infty f(x,y),dy
Como f(x,y)=c somente para y∈[c,d], para x∈[a,b] temos
fX(x)=integralc^d c,dy = c,(d−c)
Fora de [a,b] vale f_X(x)=0.

Passo 5

A densidade marginal de Y é
fY(y)=integral-infty^+infty f(x,y),dx
E como f(x,y)=c somente para x∈[a,b], para y∈[c,d] obtemos
fY(y)=integrala^b c,dx = c,(b−a)
Fora de [c,d] vale f_Y(y)=0.

Passo 6

Para concluir, dentro do retângulo temos
fX(x),fY(y)=l[c(d−c)r]timesl[c(b−a)r]=c^2(b−a)(d−c)
Mas como c=1/[(b−a)(d−c)] isso dá c²(b−a)(d−c)=c. Ou seja,
fX(x),fY(y)=c=f(x,y)
em todo ponto de R, o que é exatamente a condição de independência entre X e Y.

Resposta

a) Pela normalização obtemos 1/c = Área®. b) Para R=[a,b]×[c,d] as marginais satisfazem f_X(x)·f_Y(y)=f(x,y), logo X e Y são independentes.

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