Rolamos um dado não viesado repetidas vezes. Denote por N o total de lançamentos necessários até observarmos um valor diferente de 6, e denote por X o valor observado neste lançamento.
a) O que diz a sua intuição? Ne X devem ser independentes?
b) Encontre
,
e
c) Encontre as funções de probabilidade marginais de N e X.
d) Verifique se Ne e são independentes.
a) O que diz a sua intuição? Ne X devem ser independentes?
b) Encontre
c) Encontre as funções de probabilidade marginais de N e X.
d) Verifique se Ne e são independentes.
Passo 1
A questão pede pra rolar um dado não viciado até sair um valor diferente de 6. Definimos N como o número de lançamentos até esse evento e X como o valor observado nesse último lançamento. Vamos usar teoria de variáveis geométricas, soma de probabilidades e definição de independência de variáveis aleatórias.
Passo 2
Intuição: a chance de parar no k-ésimo lance depende só de termos dado seis nos primeiros k–1 lances e qualquer valor não 6 no k–ésimo. O valor X observado ao parar é uniformemente um dos números 1 a 5, independente de quantas vezes saiu 6 antes. Logo a intuição sugere que N e X são independentes.
Passo 3
Distribuição conjunta: para k=1,2,… e i∈{1,2,3,4,5}, temos P(rolar seis nos primeiros k–1 lances e i no k–ésimo). Como cada face tem probabilidade 1/6,
Passo 4
Distribuições marginais:
Passo 5
Verificação de independência: Comparamos P(N=k,X=i)=
com P(N=k)·P(X=i)=
·
=
. Como são iguais para todo k e i, N e X são independentes.
Resposta
a) Intuição: N e X não “influenciam” um ao outro, pois a parada só depende de cair ≠6 e o valor deixado é uniforme em {1,…,5}. b)
. c)
d) Como
, elas são independentes.