Rolamos um dado não viesado repetidas vezes. Denote por N o total de lançamentos necessários até observarmos um valor diferente de 6, e denote por X o valor observado neste lançamento.
a) O que diz a sua intuição? Ne X devem ser independentes?
b) Encontre P(N=k, X=i), i=1,2,3,4,5 e k= 1,2,3,4, ldots
c) Encontre as funções de probabilidade marginais de N e X.
d) Verifique se Ne e são independentes.

Passo 1

A questão pede pra rolar um dado não viciado até sair um valor diferente de 6. Definimos N como o número de lançamentos até esse evento e X como o valor observado nesse último lançamento. Vamos usar teoria de variáveis geométricas, soma de probabilidades e definição de independência de variáveis aleatórias.

Passo 2

Intuição: a chance de parar no k-ésimo lance depende só de termos dado seis nos primeiros k–1 lances e qualquer valor não 6 no k–ésimo. O valor X observado ao parar é uniformemente um dos números 1 a 5, independente de quantas vezes saiu 6 antes. Logo a intuição sugere que N e X são independentes.

Passo 3

Distribuição conjunta: para k=1,2,… e i∈{1,2,3,4,5}, temos P(rolar seis nos primeiros k–1 lances e i no k–ésimo). Como cada face tem probabilidade 1/6,
P(N=k,,X=i)=l(tfrac16r)^k-1cdottfrac16=l(tfrac16r)^k

Passo 4

Distribuições marginais:
P(N=k)=sumi=1^5P(N=k,X=i)=5l(tfrac16r)^k=tfrac56l(tfrac16r)^k-1,
P(X=i)=sumk=1^inftyP(N=k,X=i)=sumk=1^inftyl(tfrac16r)^k=1/61-1/6=tfrac15

Passo 5

Verificação de independência: Comparamos P(N=k,X=i)= (1/6)^k com P(N=k)·P(X=i)= (5/6)(1/6)^k-1· (1/5)= (1/6)^k. Como são iguais para todo k e i, N e X são independentes.

Resposta

a) Intuição: N e X não “influenciam” um ao outro, pois a parada só depende de cair ≠6 e o valor deixado é uniforme em {1,…,5}. b) P(N=k,X=i)=l(tfrac16r)^k. c) P(N=k)=5(1/6)^k=tfrac56(1/6)^k-1, P(X=i)=1/5 d) Como P(N=k,X=i)=P(N=k)P(X=i), elas são independentes.

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